5.7 余弦定理、正弦定理的应用举例-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版单选 新教材 老高考）

5．7　余弦定理、正弦定理的应用举例 课程标准 1．了解余弦定理、正弦定理在实际生活中的应用并能解决一些度量问题．　2.能根据实际问题设计测量方案，并解决．　 授课提示：对应学生用书第124页 知识点　测量中的有关术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： [对点自测] 1.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为(　　) A．①②　　　　　　　 B．②③ C．①③ D．①②③ 答案：D 2.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在点A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，则可以计算出A，B两点的距离为________ m. 答案：50 3．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝________米． 答案：a 授课提示：对应学生用书第125页 　　互动探究 [例]　(2023·宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________． [解析]　由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°. 由正弦定理得AC＝＝＝40(＋)． 在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°， 所以∠DBC＝30°. 由正弦定理＝， 得BC＝＝＝160sin 15°＝40(－)． 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1 600×(8＋4)＋1 600×(8－4)＋2×1 600×(＋)×(－)×＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝ 32 000， 解得AB＝80. 故图中海洋蓝洞的口径为80. [答案]　80 技法点拨 求距离问题的两个注意事项 (1)选定或确定所求量所在的三角形．若其他量已知，则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．　 (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 迁移应用 (2023·四川成都高三模拟)为测量两塔塔尖之间的距离，某同学建立了如图所示的几何模型．若MA⊥平面ABC，NB⊥平面ABC，AC＝60 m, BC＝70 m，tan∠MCA＝，cos∠NCB＝，∠MCN＝150°，则塔尖MN之间的距离为(　　) A．75 m　　　　　　　 B．75 m C．75 m D．75 m 解析：依题意，在Rt△MAC中，AC＝60 m，tan∠MCA＝，tan∠MCA＝＝＝，可得AM＝45 m，则CM＝＝＝75(m)．在Rt△BCN中，BC＝70 m，cos∠NCB＝，则CN＝＝＝75(m)．又△MNC中，∠MCN＝150°， 由余弦定理可得 MN＝＝＝75，故塔尖MN之间的距离为75 m. 答案：C 　　互动探究 [例]　(2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)(　　) A．346　　　　　　　　　　 B．373 C．446 D．473 [解析]　如图，过C作CE∥C′B′，交BB′于E，过B作BD∥A′B′，交AA′于D，则BE＝100，C′B′＝CE＝.在△A′C′B′中，∠C′A′B′＝75°，则BD＝A′B′＝.又在B点处测得A点的仰角为45°，所以AD＝BD＝，所以高度差AA′－CC′＝AD＋BE＝＋100＝＋10