5.3 第二课时 三角恒等变换-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版单选 新教材 老高考）

第二课时　三角恒等变换 授课提示：对应学生用书第106页 　　自主探究 1.·等于(　　) A．－sin α　　　　　　　 B．－cos α C．sin α D．cos α 解析：原式＝＝＝cos α. 答案：D 2．化简：＝________. 解析：原式＝＝ ＝cos 2x. 答案：cos 2x 3．若180°＜α＜270°，则 ＝________________. 解析：原式＝ ＝ . 因为180°＜α＜270°，所以cos α＜0， 从而上式＝ ＝ ＝ . 因为90°＜＜135°，所以sin ＞0， 从而上式＝sin . 答案：sin 4.＝________. 解析：由题意 ＝ ＝ ＝＝＝2. 答案：2 技法点拨 1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则 　 2．三角函数式化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次． 　　多维探究 [例1]　(1)(2023·广东三校联考)数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m＝的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin 18°，则＝(　　) A．4　　　　　　　　 B.＋1 C．2 D.－1 [解析]　由m＝2sin 18°， ∴＝＝＝＝2. [答案]　C (2)(2023·南京模拟)＝________. [解析]　原式＝＝＝. [答案]　 技法点拨 三角函数给角求值问题的解题策略 一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角之间的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题．另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值．　 [例2]　(1)(2023·江苏徐州高三检测)已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝，β∈，则tan β的值为________． [解析]　由题意可知，tan 2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]＝＝，且tan 2β＝＝，即3tan2β＋8tan β－3＝0，解得tan β＝或tan β＝－3.因为β∈，所以tan β＝. [答案]　 (2)已知cos＝.若π＜x＜π，则的值为________． [解析]　由π＜x＜π，得π＜x＋＜2π. 又cos＝， 所以sin＝－， 所以cos x＝cos＝coscos＋sin·sin＝×－×＝－， 从而sin x＝－，tan x＝7， 则 ＝ ＝ ＝－. [答案]　－ 技法点拨 给值求值是指已知某个角的三角函数值，求与该角相关的其他三角函数值的问题，解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来．　 [例3]　(1)(2023·湖北重点中学期末)已知tan α＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝(　　) A. B.或 C．－ D.或或－ [解析]　∵tan α＝>0，且α∈(0，π)，∴α∈，2α∈(0，π)， ∴tan 2α＝＝＝>0， ∴2α∈. ∵tan β＝－<0，且β∈(0，π)，∴β∈， ∴2α－β∈(－π，0)．又tan(2α－β)＝＝＝1，∴2α－β＝－. [答案]　C (2)(2023·宁夏银川期中)已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则β＝________. [解析]　∵α，β∈，∴0<α＋β<π，－<α－β<， ∴sin(α＋β)＝，cos(α－β)＝， ∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝.又0<2β<π，∴2β＝，故β＝. [答案]　 技法点拨 通过某种三角函数值来求角，在选取函数时的注意事项 (1)已知正切函数值，则选正切函数． (2)已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为，则选正弦较好． 迁移应用 1．(2023·辽宁锦州高三月考)＝(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：＝＝＝. 答案：C 2．(2023·江西上饶一模)已知α，β均为锐角，cos(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝(　　) A. B．－ C. D.或 解析：∵α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π)，β＋∈，∴sin(α＋β)>0，cos∈.∵cos(α＋β)＝－，∴sin(α＋β)＝.又sin＝， ∴cos＝－，∴cos＝cos＝cos(α＋β)·cos＋sin(α＋β)sin＝－×＋×＝. 答案：C 3．已知函数f(x)＝(2cos2 x－1)sin 2x＋cos 4x.若α∈，且f(α)＝，则α的值为(　　) A. B. C. D. 解析：由题意知f(x)