4.2 平面向量的基本定理及坐标表示-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版单选 新教材 老高考）

4．2　平面向量的基本定理及坐标表示 课程标准 1．了解平面向量基本定理及其意义．　2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．　3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算．　4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 授课提示：对应学生用书第84页 知识点一　平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 知识点二　向量的坐标运算 1．平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝ ，a·b＝x1x2＋y1y2. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)， ||＝ . 3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 1．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 2．已知P为线段AB的中点．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为.　 3.已知△ABC的重心为G.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G. [对点自测] 1．(知识点一)设e1，e2是平面内两个不共线的向量，则以下a，b不能组成该平面内一个基底的是(　　) A．a＝e1＋e2，b＝e1 B．a＝2e1＋e2，b＝e1＋e2 C．a＝e1＋e2，b＝e1－e2 D．a＝e1－2e2，b＝－e1＋4e2 答案：B 2．(知识点一)在△ABC中，D为AB的中点，点E满足＝4，则＝(　　) A.－　　　　　 B.－ C.＋ D.＋ 答案：A 3．(知识点二)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)．若ma＋nb与a－2b共线，则＝________. 答案：－ 4．(知识点二)已知O为坐标原点，向量＝(2,3)，＝(4，－1)，且＝3，则||＝________. 答案： 授课提示：对应学生用书第85页 　　互动探究 [例]　(1)(2023·湖北九师联盟3月质检)古希腊数学家帕普斯通过在矩形ABCD中构造内接直角三角形 AEF(∠AEF＝90°)，证明了三角公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(其中∠DAE＝α，∠EAF＝β)，如图所示．若AD＝2，α＝60°，β＝30°，＝a，＝b，则＝(　　) A.a＋b　　　　　　　 B.a－b C．a＋b D．a－b [解析]　在直角三角形ADF中，DF＝2，AF＝4. 在直角三角形AEF中，EF＝2. 在直角三角形CEF中，CF＝1，CE＝， 所以F是CD上靠近C的三等分点，E是BC的中点． ＝＋＝＋，＝＋＝－，两式联立消去，得＝＋＝a＋b. [答案]　A (2)(2023·北京人大附中模拟)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底{a，b}表示c，则(　　) A．c＝2a－3b B．c＝－2a－3b C．c＝－3a＋2b D．c＝3a－2b [解析]　建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1， 则A(1,0)，B(2,1)，C(0,4)，D(7,1)，所以a＝(1,1)，b＝(－2,3)，c＝(7，－3)，设向量c＝ma＋nb， 则c＝ma＋nb＝(m－2n，m＋3n)＝(7，－3)， 则解得 所以c＝3a－2b. [答案]　D (3)(2023·太原模拟)在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点．若＝λ＋μ，则实数λ＋μ＝________. [解析]　如图所示，∵M，N分别为BC，DC的中点，∴＝＋＝＋＝＋，① ＝＋＝＋，② 由①②得＝－， ＝－， ∴＝＋＝＋＝－＋－＝＋. ∵＝λ＋μ，，不共线， ∴λ＝，μ＝，λ＋μ＝. [答案]　 技法点拨 应用平面向量基本定理应注意的问题 (1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组． (2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减运算或数乘运算． 链接高考 (2022·新高考全国Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.设＝m，＝n，则＝(　　) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n 解析：由题意可知，＝－＝m－n.又BD＝2DA，所以＝2＝2(m－n)，所以＝＋＝n－2(m－n)＝3n－