3.2 第一课时 利用导数研究函数的单调性-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版单选 新教材 老高考）

3．2　导数在研究函数中的应用 第一课时　利用导数研究函数的单调性 课程标准 1．结合实例，借助图象直观了解函数的单调性与导数的关系．　2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．　 授课提示：对应学生用书第63页 知识点　利用导数研究函数的单调性 1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负关系 (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间上是增函数． (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间上是减函数． (3)若f__′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数． 2．利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域并求导函数f′(x)； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立． 2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0有解． 　[对点自测] 1．函数y＝4x2＋的单调递增区间为(　　) A．(0，＋∞)　　　　　　　 B. C．(－∞，－1) D. 答案：B 2．导函数f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 答案：D 3．已知函数f(x)＝xln x，则f(x)(　　) A．在(0，＋∞)上单调递增 B．在(0，＋∞)上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 答案：D 4．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是________． 答案：[1，＋∞) 授课提示：对应学生用书第64页 　　多维探究 [例1]　(1)(2023·合肥一模)函数y＝x2－ln x的单调递减区间为(　　) A．(－∞，1)　　　　　　　 B．(1,2) C．(0,1) D．(1，＋∞) [解析]　函数的定义域是(0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′＜0，解得0<x<1，故函数在(0,1)上单调递减． [答案]　C (2)(2020·全国Ⅱ卷节选)已知函数f(x)＝sin2xsin 2x.讨论f(x)在区间(0，π)的单调性． [解]　f′(x)＝cos x(sin xsin 2x)＋sin x(sin xsin 2x)′ ＝2sin xcos xsin 2x＋2sin2xcos 2x ＝2sin xsin 3x. 当x∈∪时，f′(x)＞0； 当x∈时，f′(x)＜0. 所以f(x)在区间，单调递增，在区间单调递减． 链接高考 (2022·新高考全国Ⅱ卷节选)已知函数f(x)＝xeax－ex.当a＝1时，讨论f(x)的单调性． 解：当a＝1时，f(x)＝xex－ex，则f′(x)＝xex， 当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． [例2]　已知函数g(x)＝ln x＋ax2－(2a＋1)x.若a＞0，试讨论函数g(x)的单调性． [解]　g′(x)＝＋2ax－(2a＋1)＝ ＝. 又函数g(x)的定义域为(0，＋∞)． 当a＞0时，令g′(x)＝0， 得x＝1或x＝. ①若＜1，即a＞时， 则当x∈∪(1，＋∞)时，g′(x)＞0； 当x∈时，g′(x)＜0. 所以函数g(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． ②若＝1，即a＝时， g′(x)＝≥0恒成立， 所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增． ③若＞1，即0＜a＜时， 则由g′(x)＞0，得x＞或0＜x＜1； 由g′(x)＜0，得1＜x＜， 所以函数g(x)在(0,1)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 综上可得，当0＜a＜时，函数在(0,1)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当a＝时，函数在(0，＋∞)上单调递增；当a＞时，函数在上单调递增，在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 技法点拨 1．研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． 2．划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点． 迁移应用 1．(2023·湖南衡阳高三月考)函数f(x)＝2cos x＋sin 2x的一个单调递增区间是(　　) A. B. C. D. 解析：由于f′(x)＝－2sin x＋2cos 2x＝2(1－2sin2x)－2sin x＝－2(2sin2x＋sin x－1)