3.2 第五课时 利用导数研究函数零点问题-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版单选 新教材 老高考）

第五课时　利用导数研究函数零点问题 授课提示：对应学生用书第76页 　　多维探究 [例1]　(2023·德州模拟)已知函数f(x)＝－x2＋a－.设函数g(x)＝xf(x)，讨论g(x)在区间(0,1)上零点的个数． [解]　由题意可知g(x)＝xf(x)＝－x3＋ax－，g′(x)＝－3x2＋a,0＜x＜1，当a≥3时，g′(x)＝－3x2＋a＞0，g(x)在(0,1)上单调递增． 因为g(0)＝－＜0，g(1)＝a－＞0， 所以g(x)有一个零点； 当a≤0时，g′(x)＜0，g(x)在(0,1)上单调递减，g(0)＜0， g(1)＜0， 所以g(x)在(0,1)上无零点； 当0＜a＜3时，g(x)在上单调递增， 在上单调递减， 可得g(x)在(0,1)上的最大值为g＝ －. ①若g＜0，即0＜a＜，g(x)在(0,1)上无零点； ②若g＝0，即a＝，g(x)在(0,1)上有一个零点； ③若g＞0，即＜a＜3，g(0)＜0，g(1)＝a－. 当＜a＜时，g(x)在(0,1)上有两个零点； 当≤a＜3时，g(x)在(0,1)上有一个零点． 综上可得，a＜时，g(x)在(0,1)上无零点； 当a＝或a≥时，g(x)在(0,1)上有一个零点， 当＜a＜时，g(x)在(0,1)上有两个零点． 技法点拨 利用导数研究方程根(函数零点)的技巧 (1)通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等进而研究方程根的情况． (2)根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数(最)值的位置进而研究方程根的情况．　 迁移应用 (2023·山东济南高三月考)若函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且满足f(x)－g(x)＝cos 2x＋e－x－ex. (1)求函数f(x)，g(x)的解析式； (2)令h(x)＝f(x)＋g(x)，试判断函数h(x)零点的个数． 解：(1)因为f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，所以 即 解得f(x)＝cos 2x，g(x)＝ex－e－x. (2)由(1)得h(x)＝cos 2x＋ex－e－x，则h′(x)＝－2sin 2x＋ex＋e－x. 因为ex＋e－x≥2(当且仅当ex＝e－x，即x＝0时取等号)，－1≤sin 2x≤1， 所以h′(x)≥0在R上恒成立，即h(x)在R上单调递增． 因为h＝cos(－π)＋e－e＝－1＋e－e<0，h(0)＝cos 0＋1－1＝1>0，所以∃x0∈，使得h(x0)＝0.又因为h(x)在R上单调递增，所以h(x)在R上有且只有1个零点． [例2]　(2022·湖南长沙高三期中)已知函数f(x)＝axex，a为非零实数． (1)求函数f(x)的单调递减区间； (2)讨论方程f(x)＝(x＋1)2的实数解的个数． [解]　(1)f′(x)＝aex＋axex＝a(x＋1)ex，由f′(x)＝0得x＝－1. ①若a>0时，由f′(x)<0得x<－1，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)； ②若a<0时，由f′(x)<0得x>－1，所以f(x)的单调递减区间为(－1，＋∞)． 综上所述，当a>0时，f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)；当a<0时，f(x)的单调递减区间为(－1，＋∞)． (2)因为方程f(x)＝(x＋1)2等价于a＝， 令g(x)＝， 所以方程f(x)＝(x＋1)2的根的个数等于函数g(x)＝的图象与直线y＝a的交点的个数．因为g′(x)＝＝－， 令g′(x)＝0，得x＝－1. 当x∈(－∞，－1)时，g′(x)>0，g(x)在(－∞，－1)上单调递增； 当x∈(－1,0)∪(0，＋∞)时，g′(x)<0，所以g(x)在(－1，0)和(0，＋∞)上单调递减．又因为g(－1)＝0， 所以当x∈(－∞，－1)时，g(x)∈(－∞，0)；当x∈(－1，0)时，g(x)∈(－∞，0)；当x∈(0，＋∞)时，g(x)∈(0，＋∞)．作出函数的图象(如图)．所以，当a>0时，原方程有且只有一个解；当a<0时，原方程有两个解． 技法点拨 将方程根的个数问题通过分离常数法转化为两个函数图象的交点个数问题，常利用函数的单调性结合函数图象进行求解．　 迁移应用 设函数f(x)＝ln x＋，讨论函数g(x)＝f′(x)－的零点个数． 解：由题意知g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)． 令g(x)＝0， 得m＝－x3＋x(x>0)． 设φ(x)＝－x3＋x(x>0)， 则φ′(x)＝－x2＋1 ＝－(x－1)(x＋1)． 当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0,1)上单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减． ∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点， ∴x＝1也是φ(x)的最大值