3.2 第四课时 利用导数研究不等式恒(能)成立问题-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版单选 新教材 老高考）

第四课时　利用导数研究不等式恒(能)成立问题 授课提示：对应学生用书第74页 　　互动探究 [例]　(2023·北京模拟)已知函数f(x)＝(x－2)ex－ax2＋ax(a∈R)． (1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)当x≥2时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围． [解]　(1)当a＝0时， f(x)＝(x－2)ex，f(0)＝(0－2)e0＝－2， f′(x)＝(x－1)ex， k＝f′(0)＝(0－1)e0＝－1， 所以所求切线方程为y＋2＝－(x－0)， 即x＋y＋2＝0. (2)当x≥2时，f(x)≥0恒成立，等价于当x≥2时，(x－2)ex－ax2＋ax≥0恒成立． 即a≤(x－2)ex在[2，＋∞)上恒成立． 当x＝2时，0·a≤0，所以a∈R. 当x>2时，x2－x>0， 所以a≤＝恒成立． 设g(x)＝，则g′(x)＝.因为x>2，所以g′(x)>0，所以g(x)在区间(2，＋∞)上单调递增， 所以g(x)>g(2)＝e2，所以a≤e2. 综上所述，a的取值范围是(－∞，e2]． 技法点拨 1．不等式恒成立问题的求解策略 已知不等式f(x，λ)≥0(λ为实参数)对任意的x∈D恒成立，求参数λ的取值范围． (1)利用导数解决此类问题可以运用分离参数法，其一般步骤如下： 　 (2)如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(a＞0，Δ＜0或a＜0，Δ＜0)求解． 2．不等式中的存在性问题的解法 常常转化为利用导数求函数的最值问题或者函数的值域问题． 迁移应用 (2023·张掖模拟)已知函数f(x)＝2(x－1)ex. (1)若函数f(x)在区间(a，＋∞)上单调递增，求f(a)的取值范围； (2)设函数g(x)＝ex－x＋p.若存在x0∈[1，e]，使不等式g(x0)≥f(x0)－x0成立，求p的取值范围． 解：(1)由f′(x)＝2xex＞0，得x＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以a≥0，所以f(a)≥f(0)＝－2，所以f(a)的取值范围是[－2，＋∞)． (2)因为存在x0∈[1，e]，使不等式g(x0)≥2(x0－1)ex0－x0成立，所以存在x0∈[1，e]，使p≥(2x0－3)ex0成立．令h(x)＝(2x－3)ex，从而p≥h(x)min.h′(x)＝(2x－1)ex.因为x≥1，所以2x－1≥1，ex＞0，所以h′(x)＞0，所以h(x)＝(2x－3)ex在[1，e]上单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝－e，所以p≥－e，所以实数p的取值范围是[－e，＋∞)． 　　互动探究 [例]　已知函数f(x)＝aln x＋x2－(a＋2)x. (1)当a＝4时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)当a＞0时，对于任意的x∈[1，＋∞)，不等式f(x)＞1－a2恒成立，求实数a的取值范围． [解]　(1)当a＝4时，f(x)＝4ln x＋x2－6x， ∴f′(x)＝＋2x－6＝. 令f′(x)＝≥0， 解得x≥2或0＜x≤1， ∴f(x)的单调递增区间为(0,1]，[2，＋∞)． (2)令g(x)＝f(x)＋a2－1(x≥1)，则g′(x)＝f′(x)＝＋2x－(a＋2)＝(x≥1)． ①当0＜＜1，即0＜a＜2时， g′(x)≥0(当且仅当x＝1时取等号)． ∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝a2－a－2＝(a－2)·(a＋1)＜0(不符合题意，舍去)． ②当＝1，即a＝2时，g′(x)＝(x－1)2≥0(仅当x＝1时取等号)，∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增， ∴g(x)min＝g(1)＝0(不符合题意，舍去)． ③当＞1，即a＞2时，g(x)在上单调递减，在上单调递增， ∴g(x)min＝g＝aln＋－a－1. 令h(x)＝xln＋－x－1(x＞2)， 则h′(x)＝ln＋x. 当x＞2时，h′(x)＞0，∴h(x)在(2，＋∞)上单调递增， ∴h(x)＞0， ∴g(x)≥g＞0恒成立，满足题意． 综上所述，a＞2，即实数a的取值范围为(2，＋∞)． 迁移应用 已知函数f(x)＝ex－1－ax＋ln x(a∈R)． (1)若函数f(x)在x＝1处的切线与直线3x－y＝0平行，求a的值； (2)若不等式f(x)≥ln x－a＋1对一切x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)f′(x)＝ex－1－a＋， ∴f′(1)＝2－a＝3， ∴a＝－1， 经检验a＝－1满足题意， ∴a＝－1. (2)f(x)≥ln x－a＋1可化为ex－1－ax＋a－1≥0， 令φ(x)＝ex－1－ax＋a－1， 则当x∈[1，＋∞)时