3.2 第三课时 利用导数证明不等式-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版单选 新教材 老高考）

第三课时　利用导数证明不等式 授课提示：对应学生用书第71页 　　互动探究 [例]　(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝ln(a－x)，已知x＝0是函数y＝xf(x)的极值点． (1)求a； (2)设函数g(x)＝.证明：g(x)<1. [解]　(1)由题意得y＝xf(x)＝xln(a－x)，x∈(－∞，a)， ∴y′＝ln(a－x)＋x··(－1)＝ln(a－x)－，x∈(－∞，a)． ∵x＝0是函数y＝xf(x)的极值点， ∴ln(a－0)－＝0，可得a＝1. 当a＝1时，y′＝ln(1－x)－，x∈(－∞，1)． 令p(x)＝ln(1－x)－， 则p′(x)＝－＝， 易知当x∈(－∞，1)时，p′(x)<0恒成立． ∴p(x)在(－∞，1)上为减函数．又p(0)＝0， ∴当x∈(－∞，0)时，p(x)>0； 当x∈(0,1)时，p(x)<0， ∴函数y＝xf(x)＝xln(1－x)在(－∞，0)上为增函数，在(0,1)上为减函数， ∴当a＝1时，x＝0是函数y＝xf(x)的极值点，∴a＝1. (2)证明：由(1)知a＝1，∴f(x)＝ln(1－x)，x∈(－∞，1)． 当x∈(0,1)时，f(x)＝ln(1－x)<0，∴xf(x)<0， 当x∈(－∞，0)时，f(x)＝ln(1－x)>0，∴xf(x)<0， ∴要证g(x)＝<1，只需证x＋f(x)>xf(x)． 只需证x＋ln(1－x)>xln(1－x)， 只需证x＋(1－x)ln(1－x)>0. 令h(x)＝x＋(1－x)ln(1－x)， 则h′(x)＝1－ln(1－x)－1＝－ln(1－x)， ∴当x∈(0,1)时，h′(x)>0，h(x)单调递增， 当x∈(－∞，0)时，h′(x)<0，h(x)单调递减， ∴当x∈(－∞，0)∪(0,1)时，h(x)>h(0)＝0， ∴x＋(1－x)ln(1－x)>0在(－∞，0)∪(0,1)上恒成立， ∴g(x)<1. 技法点拨 解答与不等式相关的参数范围问题的两种方法 (1)分类讨论法：按照参数的取值分类讨论，利用导数，确定符合题意的参数范围． (2)参变分离法：把参数与变量分离，构造新函数，利用导数研究单调性、最值等进而求解．　 迁移应用 (2023·赣州模拟)已知函数f(x)＝1－，g(x)＝＋－bx.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直． (1)求a，b的值； (2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥. 解：(1)因为f(x)＝1－， 所以f′(x)＝，f′(1)＝－1. 因为g(x)＝＋－bx， 所以g′(x)＝－－－b. 因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直，所以g(1)＝1，且f′(1)·g′(1)＝－1， 所以g(1)＝a＋1－b＝1，g′(1)＝－a－1－b＝1，解得a＝－1，b＝－1. (2)证明：由(1)知，g(x)＝－＋＋x， 则f(x)＋g(x)≥⇔1－－－＋x≥0. 令h(x)＝1－－－＋x(x≥1)， 则h(1)＝0，h′(x)＝－＋＋＋1＝＋＋1. 因为x≥1，所以h′(x)＝＋＋1＞0， 所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以h(x)≥h(1)＝0，即1－－－＋x≥0， 所以当x≥1时，f(x)＋g(x)≥. 　　互动探究 [例]　(2023·福州模拟)已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0. [解]　(1)f′(x)＝－a(x＞0)． ①若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②若a＞0，则当0＜x＜时，f′(x)＞0， 当x＞时，f′(x)＜0， 故f(x)在上单调递增，在上单调递减． (2)证明：法一：因为x＞0，所以只需证f(x)≤－2e， 当a＝e时，由(1)知，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以f(x)max＝f(1)＝－e. 记g(x)＝－2e(x＞0)， 则g′(x)＝， 所以当0＜x＜1时，g′(x)＜0，g(x)单调递减， 当x＞1时，g′(x)＞0，g(x)单调递增， 所以g(x)min＝g(1)＝－e. 综上，当x＞0时，f(x)≤g(x)， 即f(x)≤－2e，即xf(x)－ex＋2ex≤0. 法二：要证xf(x)－ex＋2ex≤0，即证exln x－ex2－ex＋2ex≤0， 从而等价于ln x－x＋2≤. 设函数g(x)＝ln x－x＋2，则g′(x)＝－1. 所以当x∈(0,1)时，g′(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0， 故g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 从