3.2 第二课时 利用导数研究函数的极值与最值-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版单选 新教材 老高考）

第二课时　利用导数研究函数的极值与最值 课程标准 1．借助函数的图象，了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件．　2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．　3.体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系．　 授课提示：对应学生用书第66页 知识点一　函数的极值与导数 1．函数的极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则点a 叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．函数的极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)<0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值，极大值和极小值统称为极值． 知识点二　函数的最值与导数 1．函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值． (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 1．如果函数f(x)在(a，b)上只有一个极值，那么这个极值就是相应的最值． 2．对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，其导数f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，方程3ax2＋2bx＋c＝0的判别式Δ＝4b2－12ac，有以下结论： Δ＞0 函数f(x)在R上存在极值(既有极大值又有极小值) 函数f(x)在R上不是单调函数 Δ≤0 函数f(x)在R上不存在极值 函数f(x)在R上是单调函数(单调递增或单调递减) [对点自测] 1．(知识点一)设函数f(x)＝＋ln x，则(　　) A．x＝为f(x)的极大值点 B．x＝为f(x)的极小值点 C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点 答案：D 2．(知识点一)函数f(x)＝－2x3＋3x2＋1的极小值与极大值分别等于(　　) A．0,1　　　　　　　　 B．－1,0 C．－2，－1 D．1,2 解析：由题意得f′(x)＝－6x2＋6x＝－6x(x－1)．令f′(x)＝0得x＝0或x＝1，当x∈(－∞，0)时f′(x)<0，当x∈(0,1)时f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时f′(x)<0，所以当x＝0时函数取极小值f(0)＝1，当x＝1时函数取极大值f(1)＝2. 答案：D 3．(知识点二)函数y＝x＋2cos x在区间上的最大值是________． 答案：＋ 4．(知识点三)函数f(x)＝x3－x2＋1在区间[0,2]内的最小值为________． 解析：由题意得f′(x)＝3x2－2x.令f′(x)＝0，可得x＝0或x＝，当∈时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)在区间[0,2]内的最小值为f＝. 答案： 授课提示：对应学生用书第67页 　　多维探究 [例1]　已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如表所示： x －1 0 4 5 f(x) 1 2 2 1 f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．函数f(x)的极大值点有3个 B．函数f(x)在[0,2]上是减函数 C．当x∈[－1，t]时，若f(x)的最大值是2，则t的最大值为4 D．当1<a<2时，函数y＝f(x)－a有4个零点 [解析]　由题中f′(x)的图象可知，当x＝0时，函数f(x)取得极大值；当x＝4时，函数f(x)取得极大值，即函数f(x)有2个极大值点，故A中结论错误．易知函数f(x)在[0,2]上是减函数，故B中结论正确．当x∈[－1，t]时，若f(x)的最大值是2，则t满足0≤t≤5，即t的最大值是5，故C中结论错误．令y＝f(x)－a＝0，得f(x)＝a，当f(2)≤1,1<a<2时，易知f(x)＝a有四个根；当1<f(2)<2,1<a<2时，易知f(x)＝a不一定有四个根，故函数y＝f(x)－a有4个零点不一定正确，故D中结论错误． [答案]　B 技法点拨 如果知道f′(x)的图象，先看图象与x轴的交点，再看交点两侧图象是否位于x轴上下两侧，从而判断该交点是不是极值点．　 [例2]　(2023·兰州模拟)已知函数f(x)＝x3－(a2＋a＋2