3.1 导数的概念及其意义、导数的运算-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版单选 新教材 老高考）

第三章 一元函数的导数及其应用 3.1 导数的概念及其意义、导数的运算 课程标准 1．了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想．　2.通过函数图象直观理解导数的几何意义．　3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数．　 授课提示：对应学生用书第60页 知识点一　导数的概念 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0， 即f′(x0)＝ ＝ . 知识点二　导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 知识点三　基本初等函数导数公式及导数运算法则 1．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax (a>0，且a≠1) f′(x)＝ 2.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)′＝(g(x)≠0)． (4)[a·f(x)]′＝af′(x)． 3．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与 u对x的导数的乘积． [对点自测] 1．(知识点三)函数y＝xcos x－sin x的导数为(　　) A．xsin x　　　　　　　 B．－xsin x C．xcos x D．－xcos x 答案：B 2．(知识点一、三)有一机器人的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则该机器人在t＝2时的瞬时速度为________． 答案： 3．(知识点三)已知函数f(x)＝xln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝________. 答案：－ 4．(知识点二、三)函数y＝ln(x＋1)在(0,0)处的切线方程为________． 答案：y＝x 授课提示：对应学生用书第61页 　　自主探究 1．(2023·长沙长郡中学阶段考试)一个质点做直线运动，其位移s(单位：米)与时间t(单位：秒)满足关系式s＝t4＋(3t－1)3，则当t＝1秒时，该质点的瞬时速度为(　　) A．16米/秒　　　　　　　 B．40米/秒 C．9米/秒 D．36米/秒 解析：s′＝4t3＋9(3t－1)2， 当t＝1时，s′＝4＋9×4＝40， 故当t＝1秒时，该质点的瞬时速度为40米/秒． 答案：B 2．现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V(单位：L)与直径d(单位：dm)的关系式为V＝d3，当d＝1 dm时，估计气球体积的瞬时变化率为(　　) A．2π　　 B．π C.　　 D. 解析：设V＝f(d)＝d3，则f′(d)＝d2，∴f′(1)＝，即当d＝1 dm时，气球体积的瞬时变化率为. 答案：C 3．(2023·江西上饶一模)设f(x)为可导函数，且li ＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为(　　) A．2 B．－1 C．1 D．－ 解析：由导数的几何意义，点(1，f(1))处的切线斜率为f′(1)，因为当Δx→0时，→－1，所以f′(1)＝li ＝li ＝－，所以在点(1，f(1))处的切线斜率为－. 答案：D 　　自主探究 1．(2023·湖北鄂北六校期中联考)已知f(x)＝sin，则f′(x)＝(　　) A．cos x B．－cos x C．sin x D．－sin x 答案：D 2．(2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝.若f′(1)＝，则a＝________. 解析：f′(x)＝，可得f′(1)＝＝，即＝，解得a＝1. 答案：1 3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝________. 解析：因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x， 所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋， 所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋＝3f′(2)＋， 所以f′(2)＝－. 答案：－ 技法点拨