2.8 函数的零点与方程的解-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版单选 新教材 老高考）

2．8　函数的零点与方程的解 课程标准 1．理解函数的零点与方程的解的关系．　2.理解函数零点存在定理，并能进行简单应用．　3.了解用二分法求方程的近似解．　 授课提示：对应学生用书第51页 知识点一　函数的零点与方程的解 1．函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 2．函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． 3．函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 知识点二　二分法 1．二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2．用二分法求方程的近似解 给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下： (1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε. (2)求区间(a，b)的中点x1. (3)计算f(x1)． ①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点； ②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))； ③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))． (4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复(2)(3)(4)． [对点自测] 1．(知识点一)函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致范围是(　　) A．(1,2)　　　　　　　 B．(2,3) C.和(3,4) D．(4，＋∞) 答案：B 2．(知识点一)已知函数f(x)＝则f(x)的零点为________． 答案：－2，e 3．(知识点一)若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0,4)上存在零点，则实数m的取值范围是________． 解析：由题意知解得－8＜m≤1. 答案：(－8,1] 4．(知识点二)用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，(1)验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01；(2)取区间(2,4)的中点x1＝＝3；(3)计算得f(2)·f(3)<0，则此时零点x0∈________.(填区间) 答案：(2,3) 授课提示：对应学生用书第52页 　　自主探究 1．(2023·揭阳模拟)曲线y＝x与y＝x的交点横坐标所在区间为(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：设f(x)＝x－x，易知f(x)单调递减． ∵ff＜0， ∴函数零点所在区间为，即所求交点横坐标所在区间为. 答案：B 2．[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.5]＝3，[－0.5]＝－1.已知x0是方程ln x＋3x－15＝0的根，则[x0]＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：设f(x)＝ln x＋3x－15， 则f(4)＝ln 4－3＜ln e2－3＜－1＜0， f(5)＝ln 5＞0， ∴x0∈(4,5)．∴[x0]＝4. 答案：C 3．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 解析：∵f(a)＝(a－b)(a－c)>0， f(b)＝(b－c)(b－a)<0， f(c)＝(c－a)(c－b)＞0， ∴两个零点所在区间分别为(a，b)和(b，c)． 答案：A 技法点拨 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．　 　　互动探究 [例]　(1)(2023·长春模拟)已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)－3的零点个数是(　　) A．1　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 [解析]　法一(直接法)：由y＝f(x)－3＝0得f(x)＝3.当x>0时，得ln x＝3或ln x＝－3，解得x＝e3或x＝e－3；当x≤0时，得－2x(x＋2)＝3，无解，所以函数y＝f(x)－3的零点个数是2. 法二(图象法)：作出函数f(x)的图象，如图，函数y＝f(x)－3的零点个数即y＝f