2.6 对数与对数函数-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版单选 新教材 老高考）

2．6　对数与对数函数 课程标准 1．理解对数的概念和运算性质，能将一般对数用换底公式转化成自然对数或常用对数．　2.了解对数函数的概念．能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．　3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1)．　　 授课提示：对应学生用书第44页 知识点一　对数与对数运算 1．对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝loga_N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作lg_N．以e为底的对数叫做自然对数，记作ln_N. 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①零和负数没有对数； ②loga1＝0，loga a＝1； ③对数恒等式：alogaN＝N(a>0，a≠1，N>0)． (2)对数的运算性质(a>0，且a≠1，M>0，N>0) ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)． (3)对数的换底公式 换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N＞0)． 知识点二　对数函数及其性质 1．概念 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过点(1,0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 3.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 1．logambn＝logab. 2．logab·logba＝1. 3．logab·logbc·logcd＝logad. 4．如图给出4个对数函数的图象 则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．　 [对点自测] 1．(知识点一)log63·log96等于(　　) A.　　　　　　　 B．3 C．2 D. 答案：D 2．(知识点一)化简2lg 5＋lg 4－5log52的结果为(　　) A．0 B．2 C．4 D．6 答案：A 3．(知识点二)已知函数y＝ex的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，则f(2e)＝(　　) A．2e2 B．2e C．1＋ln 2 D．2ln 2 解析：由题意知f(x)＝ln x， ∴f(2e)＝ln 2e＝1＋ln 2. 答案：C 4．(知识点二)函数y＝log(x2－1)的单调增区间为________． 解析：令x2－1＞0， 则x＞1或x＜－1. 而u＝x2－1在(－∞，－1)上单调递减， ∴y＝log(x2－1)的单调增区间为(－∞，－1)． 答案：(－∞，－1) 授课提示：对应学生用书第45页 　　自主探究 1．(2022·浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　) A．25　　　　　　　 B．5 C. D. 解析：由2a＝5得a＝log25.又b＝log83＝log23，所以a－3b＝log25－log23＝log2＝＝2log4＝log4，所以4a－3b＝4log4＝. 答案：C 2．当强度为x的声音对应的等级为f(x)分贝时，有f(x)＝10lg(其中A0为常数)，装修电钻的声音约为100分贝，普通室内谈话的声音约为50分贝，则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为(　　) A. B. C．105 D．e5 解析：令装修电钻的声音强度为x1，普通室内谈话的声音强度为x2，由题意知得所以装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为＝＝105. 答案：C 3．(2023·长沙一中等六校联考)已知a＝log0.12，b＝log5，则(　　) A．ab<0<a＋b B．ab<a＋b<0 C．a＋b<0<ab D．a＋b<ab<0 解析：因为a＝log0.12<0，b＝log5>0，所以ab<0.又因为a＋b＝log0.12＋log5＝＋＝－lg 2＋＝<0，所以a＋b<0.又＝＋＝log20.1＋log 5＝log20.1＋log225＝log22.5＞1，所以＞1.又ab＜0，所以a＋b<ab，所以a＋b<ab<0. 答案：D 技法点拨 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并． (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用