2.4 幂函数与二次函数-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版单选 新教材 老高考）

2．4　幂函数与二次函数 课程标准 1．通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数．　2.掌握二次函数的图象与性质．　 授课提示：对应学生用书第36页 知识点一　幂函数 1．幂函数的概念 一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数． 2．5个简单的幂函数的图象与性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 单调性 在R上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞) 上单调递增 在R上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 图象 过定点 (0,0)，(1,1) (1,1) 知识点二　二次函数的图象和性质 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) a>0 a<0 图象 定义域 R 值域 单调性 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增， 在 上单调递减 图象特点 ①对称轴：直线x＝－； ②顶点坐标： 二次函数解析式的三种基本形式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．　 (2)顶点式：若函数的顶点坐标为(h，k)，则y＝a(x－h)2＋k(a≠0)． (3)零点式：若函数的两个零点为x1，x2，则y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 1．所有幂函数的图象都经过点(1,1)，所有幂函数的图象都不经过第四象限． 2．一般地，对于幂函数f(x)＝x(m∈Z，n∈N*，m与n互质)，当m为偶数时，f(x)为偶函数；当m，n均为奇数时，f(x)为奇函数；当n为偶数时，f(x)为非奇非偶函数． 3．如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． 4．二次函数y＝ax2＋bx＋c是偶函数的充要条件是b＝0.　 [对点自测] 1．(知识点一)已知幂函数f(x)的图象过点(8,4)，则该幂函数的解析式是(　　) A．f(x)＝x　　　　　　　 B．f(x)＝x2 C．f(x)＝x－1 D．f(x)＝x 答案：D 2．(知识点二)二次函数f(x)的图象经过(0,3)，(2,3)两点，且f(x)的最大值是5，则该函数的解析式是(　　) A．f(x)＝2x2－8x＋11 B．f(x)＝－2x2＋8x－1 C．f(x)＝2x2－4x＋3 D．f(x)＝－2x2＋4x＋3 解析：由函数图象过点(0,3)，可排除A，B.因为函数f(x)有最大值5，所以图象应开口向下，排除C. 答案：D 3．(知识点一)如图所示是①y＝xa，②y＝xb，③y＝xc在第一象限内的图象，则a，b，c的大小关系为________． 答案：a＜c＜b 4．(知识点二)若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上单调，则实数k的取值范围为________． 解析：由题意知≤5或≥20， ∴k≤40或k≥160. 答案：(－∞，40]∪[160，＋∞) 授课提示：对应学生用书第38页 　　自主探究 1．若幂函数f(x)＝(3m2－2m)x3m的图象不经过坐标原点，则实数m的值为(　　) A.　　　　　　　　 B．－ C．－1 D．1 解析：由题意得3m2－2m＝1，解得m＝1或－，①当m＝1时，f(x)＝x3，函数图象经过原点，不合题意；②当m＝－时，f(x)＝x－1，函数图象不经过原点，符合题意，故m＝－. 答案：B 2．若幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·xm2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为(　　) A．1或3 B．1 C．3 D．2 解析：由题意得m2－4m＋4＝1， 即m2－4m＋3＝0，解得m＝1或m＝3. 当m＝1时，f(x)＝x3， 在(0，＋∞)上为增函数． 当m＝3时，f(x)＝x－1， 在(0，＋∞)上为减函数． 答案：B 3．已知幂函数y＝x(p，q∈Z且p，q互质)的图象关于y轴对称，如图所示，则(　　) A．p，q均为奇数，且>0 B．q为偶数，p为奇数，且<0 C．q为奇数，p为偶数，且>0 D．q为奇数，p为偶数，且<0 解析：由题图可知，函数在(0，＋∞)上单调递减，故＜0且关于y轴对称，是偶函数，故p为偶数．又p，q互质，故q为奇数． 答案：D 4．(2022·宝鸡检测)已知a＝2，b＝3，c＝25，则(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 解析：a＝2＝4，b＝3. 由于y＝x在(0，＋∞)上为增函数， ∴a＞b.而c＝25＝5＞4＞4， ∴c＞a＞