2.3 函数的奇偶性与周期性、对称性-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版单选 新教材 老高考）

2．3　函数的奇偶性与周期性、对称性 课程标准 1．结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义．　2.结合三角函数，了解函数周期性的概念和几何意义．　3.能够综合运用函数的奇偶性、单调性、周期性解决相关问题．　 授课提示：对应学生用书第32页 知识点一　函数的奇偶性 (1)定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． (2)图象特点：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称． 知识点二　函数的周期性 1．周期函数 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)． 3．函数对称性常用结论 (1)f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝对称． f(a＋x)＝－f(b－x)⇔f(x)的图象关于点对称． (3)f(2a－x)＝－f(x)＋2b⇔f(x)的图象关于点(a，b)对称．　 [对点自测] 1．(知识点一)下列函数中为偶函数的是(　　) A．y＝x2sin x　　　　　 B．y＝x2cos x C．y＝|ln x| D．y＝2－x 答案：B 2．(知识点一)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 答案：A 3．(知识点二)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2 023)＝(　　) A．5 B. C．2 D．－2 解析：由f(x)＝－f(x＋2)，∴T＝4， ∴f(2 023)＝f(3)＝－f(1)＝－2. 答案：D 4．(知识点一、二)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)＞1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为________． 解析：由题意知函数f(x)的周期T＝3， ∴f(7)＝f(1)＝a. 而f(2)＝f(－1)＝f(1)，∴a＞1. 答案：(1，＋∞) 授课提示：对应学生用书第33页 　　多维探究 1．(2023·太原市统考)下列函数不是偶函数的是(　　) A．f(x)＝ln　　　 B．f(x)＝|sin x|cos x C．f(x)＝xcos x D．f(x)＝ex＋e－x 解析：对于A，定义域为R，f(－x)＝ln＝ln＝f(x)，f(x)是偶函数．对于B，定义域为R，f(－x)＝|sin(－x)|·cos(－x)＝|sin x|cos x＝f(x)，f(x)是偶函数．对于C，定义域为R，f(－x)＝(－x)cos(－x)＝－xcos x≠f(x)，f(x)不是偶函数．对于D，定义域为R，f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，f(x)是偶函数． 答案：C 2．(2023·郑州市一模)若函数f(x)满足f(2－x)＋f(x)＝－2，则下列函数为奇函数的是(　　) A．f(x －1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 解析：由f(2－x)＋f(x)＝－2可知，y＝f(x)的图象关于点(1，－1)对称，将点(1，－1)向左平移1个单位长度，向上平移1个单位长度得到点(0,0)，即函数y＝f(x＋1)＋1为奇函数． 答案：D 技法点拨 对于具体函数，可直接利用奇偶函数定义判断函数的奇偶性；对于抽象函数，可利用f(－x)与f(x)的等量关系或者图象特征判断函数的奇偶性．　 链接高考 (2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 解析：法一：f(x)＝－1＋，其图象的对称中心为(－1，－1)，将y＝f(x)的图象沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度可得函数f(x－1)＋1的图象，关于(0,0)对称，所以函数f(