2.2 函数的单调性与最值-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版单选 新教材 老高考）

2．2　函数的单调性与最值 课程标准 1．借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义．　2.掌握函数单调性的简单应用．　 授课提示：对应学生用书第26页 知识点一　函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果对于定义域D内某个区间I上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上单调递增．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上单调递减．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2.单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间I叫做函数y＝f(x)的单调区间． 知识点二　函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈D，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈D，使得f(x0)＝M (1)对于任意x∈D，都有f(x)≥M； (2)存在x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 1.∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)． 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 4．复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u＝φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上．如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减． 　[对点自测] 1．(知识点一)下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是(　　) A．y＝|x＋1|　　　　 B．y＝2－x C．y＝ D．y＝x2－x＋1 答案：A 2．(知识点一)函数y＝log(x2－2x)的单调递减区间是(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－∞，0) 答案：C 3．(知识点二)已知函数f(x)＝，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________． 答案：2　 4．(知识点一、二)函数y＝在(－∞，0]上的最大值为2，则a＝________. 解析：因为函数y＝在(－∞，0]上有最大值，所以函数为增函数， 所以－a＝2，a＝－2. 答案：－2 授课提示：对应学生用书第27页 　　多维探究 [例1]　(1)(2023·山东青岛高三月考)下列函数在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A．f(x)＝ln x　　　　　 B．f(x)＝e－x C．f(x)＝ D．f(x)＝－ [解析]　对于A，f(x)＝ln x为对数函数，其底数e>1，在区间(0，＋∞)上单调递增，不符合题意．对于B，f(x)＝e－x为指数函数，其底数<1，在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意．对于C，f(x)＝为幂函数，其指数>0，在区间(0，＋∞)上单调递增，不符合题意．对于D，f(x)＝－＝为反比例函数，在区间(0，＋∞)上单调递增，不符合题意． [答案]　B (2)函数f(x)＝log3(4x－x2)的单调递增区间为________，单调递减区间为________． [解析]　由4x－x2＞0得0＜x＜4，所以函数定义域为(0,4)． 令t＝4x－x2，则y＝log3t.由于y＝log3t是(0，＋∞)上的增函数，t＝4x－x2在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，故函数f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,4)． [答案]　(0,2)　(2,4) (3)函数y＝|x2－4x＋3|的单调递增区间是________． [解析]　函数的图象如图所示．由图象可知，函数的单调递增区间为[1,2]，[3，＋∞)． [答案]　[1,2]，[3，＋∞) 链接高考 (2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为(　　) A．f(x)＝－x　　　　　 B．f(x)＝x C．f(x)＝x2 D．f(x)＝ 解析：对于f(x)＝－x，由正比例函数的性质可知，f(x)是减函数，故A不符合题意． 对于f(x)＝x，由指数函数的单调性可知，f(x)是减函数，故B不符合题意． 对于f(x)＝x2，由二次函数的图象可知，f(x)在(－∞，