1.4 基本不等式-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版单选 新教材 老高考）

1．4　基本不等式 课程标准 1．会用基本不等式解决简单的最值问题．　2.理解基本不等式在实际问题中的应用．　 授课提示：对应学生用书第12页 知识点一　基本不等式 1．基本不等式≤ (1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立． (2)a＋b≥2(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时，等号成立． (3)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立． (4)2≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立． 知识点二　利用基本不等式求最值 已知x＞0，y＞0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)． (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)． 使用基本不等式求最值时，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 1．若a，b>0，则≤≤≤ ，当且仅当a＝b时取“＝”． 2．当a>0，b>0，c>0时，≥(当且仅当a＝b＝c时取“＝”)． [对点自测] 1．(知识点一)下列不等式的证明过程正确的是(　　) A．若a＞0，b<0，则＋≥2＝2 B．若x，y>0，则lg x＋lg y≥2 C．若x为负实数，则x＋≥－2＝－4 D．若x为非负实数，则2x＋2－x≥2＝2 答案：D 2．(知识点一)若a，b∈R，则下列不等式成立的是(　　) A.＋≥2　　　　　　　 B．ab≤ C.＜2 D.≤ 答案：B 3．(知识点二)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80　　　 B．77　　　　 C．81　　　 D．82 答案：C 4．(知识点二)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2. 答案：25 授课提示：对应学生用书第13页 　　互动探究 [例]　(1)(2022·新高考全国Ⅱ卷改编)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1　　　　　　　　 B．x＋y≥－1 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 [解析]　因为x2＋y2－xy＝(x＋y)2－3xy＝1，且xy≤，所以(x＋y)2－3xy≥(x＋y)2－(x＋y)2＝(x＋y)2，故(x＋y)2≤4，当且仅当x＝y时等号成立，即－2≤x＋y≤2，故A、B错误．由xy≤得1＝x2＋y2－xy≥x2＋y2－，即x2＋y2≤2，当且仅当x＝y时等号成立．故C正确，D错误． [答案]　C (2)(2020·新高考全国Ⅰ卷改编)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则下列式子错误的是(　　) A．a2＋b2≥ B．2a－b＞ C．log2a＋log2b≥－2 D.＋≤ [解析]　因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，所以a＋b≥2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，即有ab≤. 对于A，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故A正确． 对于B,2a－b＝22a－1＝×22a， 因为a＞0，所以22a＞1，即2a－b＞，故B正确． 对于C，log2a＋log2b＝log2ab≤log2＝－2，故C错误．对于D，由(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤2，得＋≤，故D正确． [答案]　C 技法点拨 利用基本不等式判断命题真假的注意点 (1)应用基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”．“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立． (2)连续运用基本不等式时，牢记等号要同时成立．　 迁移应用 设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　) A．a<b<< B．a<<<b C．a<<b< D.<a<＜b 解析：因为b>a>0，所以<，而<b，a<<b，所以a<<<b. 答案：B 　　多维探究 [例1]　(1)若x<，则f(x)＝3x＋1＋有(　　) A．最大值0　　　　　　　 B．最小值9 C．最大值－3 D．最小值－3 [解析]　∵x＜，∴3x－2<0， ∴f(x)＝3x＋1＋＝－＋3， 而(2－3x)＋≥2＝6， 当且仅当2－3x＝， ∴2－3x＝3， 即x＝－时取“＝”， ∴f(x)≤－6＋3＝－3， 即f(x)最大值为－3. [答案]　C (2)函数f(x)＝lg x＋的值域为________． [解析]　∵当0＜x＜1时，lg x＜0， ∴f(x)＝－[(－lg x)＋]≤－2＝－4， 当且仅当－lg x＝， ∴lg x＝－2，即x＝10－2时取“＝”． 当x＞1时，lg x＞0， ∴f(x)＝lg x＋≥4， 当且仅当lg x＝， ∴lg x＝2，x＝1