1.3 等式性质与不等式的性质-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版单选 新教材 老高考）

1．3　等式性质与不等式的性质 课程标准 1．掌握等式性质．　2.会比较两个数的大小．　3.理解不等式的性质，并能简单应用．　 授课提示：对应学生用书第9页 知识点一　两个实数比较大小的依据 (1)a－b>0⇔a>b. (2)a－b＝0⇔a＝b. (3)a－b<0⇔a<b. 知识点二　等式性质与不等式性质 1．等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔b<a； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒a>c； 性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． 1．若ab>0，且 a>b⇔<. 2．若a>b>0，m>0⇒<； 若b>a>0，m>0⇒>. 3．可开方性：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)．　 [对点自测] 1．(知识点二)若a>b>0，c<d<0，则下列结论正确的是(　　) A.－>0　　　　　 B.－<0 C.> D.< 答案：D 2．(知识点二)设b>a>0，c∈R，则下列不等式中错误的是(　　) A．a<b B.> C.＞ D．ac3<bc3 答案：D 3．(知识点一)已知M＝x2－3x，N＝－3x2＋x－3，则M，N的大小关系是________． 答案：M>N 4．(知识点二)已知－1<a<2，－3<b<5，则a＋2b的取值范围是________． 答案：(－7,12) 授课提示：对应学生用书第10页 　　互动探究 [例]　(1)已知a1，a2∈(0,1)．记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M<N　　　　　　　 B．M>N C．M＝N D．不确定 [解析]　M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝(a1－1)(a2－1)． ∵a1，a2∈(0,1)，∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，即M>N. [答案]　B (2)已知x，y∈R，ln(x－y＋1)>0，则(　　) A.< B．ln x－ln y>0 C．sin(x－y)>0 D．2x－2y>3－x－3－y [解析]　因为ln(x－y＋1)>0，所以x－y＋1>1，即x>y，若x＝1，y＝－3，满足x>y，但>，故A错误；此时ln y无意义，故B错误；sin(x－y)＝sin 4<0，故C错误；令h(x)＝2x－3－x，则h(x)＝2x－3－x在R上单调递增，所以h(x)>h(y)，即2x－3－x>2y－3－y,2x－2y>3－x－3－y，故D正确． [答案]　D (3)若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为________． [解析]　易知a，b>0， ∴＝＝16×＝16×16＝16.∵∈(0,1)，∴0<16<1，∴a<b. [答案]　a<b 技法点拨 比较两个数(式)的大小的三种方法 迁移应用 1．已知在等比数列{an}中，a1>0，q>0，其前n项和为Sn，则与的大小关系为________． 解析：当q＝1时，＝＝3，＝＝5，所以＜. 当q>0且q≠1时，－＝－＝－<0，所以＜. 综上，与的大小关系为＜. 答案：＜ 2．已知θ∈，且a＝cos 2θ，b＝cos θ－sin θ，则a与b的大小关系为________． 解析：由于θ∈，所以2θ∈，故a＝cos 2θ>0，且cos θ>sin θ，所以b>0.而＝＝＝cos θ＋sin θ＝sin，由于θ∈，所以θ＋∈，故sin∈，sin∈(1，)，即>1，故必有a>b. 答案：a>b 多维探究 1．(2022·上海)已知实数a，b，c，d满足：a>b>c>d，则下列选项中正确的是(　　) A．a＋d>b＋c　　　　　　　 B．a＋c>b＋d C．ad>bc D．ac>bd 解析：选项A，如取a＝4，b＝3，c＝2，d＝－4，此时a＋d<b＋c，故A错误；选项B，a＋c>b＋c>b＋d，故B正确；选项C，D，如取a＝4，b＝－1，c＝－2，d＝－3，此时ad<bc，ac<bd，故C，D错误． 答案：B 2．(2023·济南市学情检测)已知实数a，b，c满足a>b>c>0，则下列说法正确的是(　　) A.＜ B.< C．ab＋c2＜ac＋bc D．(a＋b)的最小值为4 解析：对于A，因为a>b>c>0，所以<，<0，所以＞，所以A不正确