3.2 第2课时 零点的存在性及其近似值的求法-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 [素养目标]　1.掌握函数零点存在定理并能简单应用，提升逻辑推理、直观想象素养．　 2.了解二分法的操作步骤与思想，培养数学建模素养． 　函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)f(b)＜0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0． [拓展] 1．如果函数y＝f(x)在[a，b]上的图像是连续不断的曲线，且x0是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有f(a)·f(b)＜0.如f(x)＝x2，在区间[－1，1]上有零点x＝0，但f(－1)·f(1)＞0. 2．满足定理的条件，只能判断f(x)在(a，b)内有零点，是否唯一还要研究f(x)在(a，b)上的单调性． 　二分法 给定近似的精度ε，用二分法求函数f(x)在[a，b]上零点x0的近似值x1，使得|x1－x0|＜ε的一般步骤如下： 第一步　检查|b－a|＜2ε是否成立，如果成立，取x1＝，计算结束；如果不成立，转到第二步． 第二步　计算区间(a，b)的中点对应的函数值，若f＝0，取x1＝，计算结束；若f≠0，转到第三步． 第三步　若f(a)f＜0，将的值赋给b，回到第一步；若ff(b)＜0，将的值赋给a，回到第一步． [拓展] 1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点． 2．知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想． [预习诊断] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝2x－1的零点是.(　　) (2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有f(a)·f(b)>0，则在区间(a，b)上一定没有零点．(　　) (3)如果已知函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，那么能判断函数在区间[a，b]上零点的个数．(　　) (4)求任何函数的零点都可以用二分法．(　　) 答案：(1)×.函数y＝2x－1的零点是. (2)×.如f(x)＝x2在区间(－1，1)上有f(－1)f(1)＝1×1＝1>0，但是在区间(－1，1)上有零点0. (3)×.只能判断有零点，不能判断零点的个数． (4)×.函数需满足在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0，才能用二分法求零点． 2．(多选题)以下每个图像表示的函数都有零点，其中能用二分法求函数零点近似值的是(　　) 解析：根据二分法的定义，当函数f(x)在区间[a，b]上的图像连续不断，且f(a)·f(b)<0，即函数的零点是变号零点时，才能将区间(a，b)一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图像分析可知，选项A，B，D都符合条件，而选项C不符合，因为函数值在零点两侧同号，所以不能用二分法求函数零点的近似值． 答案：ABD 3．若函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算列表如下 x 1 1.5 1.25 1.375 1.312 5 f(x) －1 0.875 －0.296 9 0.224 6 －0.051 51 那么方程x3－x－1＝0的一个近似根(精度为0.1)为(　　) A．1.3 B．1.312 5 C．1.437 5 D．1.25 解析：由于f(1.375)＞0，f(1.312 5)＜0， 且1.375－1.312 5＜0.1，故选B． 答案：B 4．方程3x＋m＝0的根在(－1，0)内，则m的取值范围为________． 解析：令f(x)＝3x＋m，则f(－1)·f(0)<0. ∴m(m－3)<0，即0<m<3. 答案：0<m<3 　判断函数零点所在的区间(小组探究) 　(1)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 【尝试解答】　因为a＜b＜c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，所以f(a)f(b)＜0，f(b)f(c)＜0，即函数的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内． 【答案】　A (2)函数f(x)＝x3＋x2＋1的零点所在的区间为(　　) A．(－3，－2) B．(－2，－1) C．(－1，0) D．(0，1) 【尝试解答】　因为f(－2)＝(－2)3＋(－2)2＋1＝－3<0，f(－1)