3.2 第1课时 函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

3．2　函数与方程、不等式之间的关系 第1课时　函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 [素养目标]　1.理解函数零点的定义，会求简单函数的零点，培养数学抽象素养． 2.掌握二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系，会应用关系解决问题，提升数学运算、直观想象素养． 　函数的零点 1．零点定义：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点． 2．几何意义：α是函数f(x)零点的充分必要条件是，(α，0)是函数图像与x轴的公共点． 　二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 三个“二次”之间的关系 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图像 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 x1，x2(x1＜x2) x0＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x＞x2或x＜x1} {x|x≠x0} R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ [点睛] 1.从函数角度看三个“二次”之间的关系 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)满足y＞0时的自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的图像在x轴上方时点的横坐标x的集合，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根就是二次函数图像与x轴交点的横坐标． 2．若一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是R，则 [预习诊断] 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)＝1－x的零点为(1，0)．(　　) (2)若关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　) (3)若关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是(－∞，x1]∪[x2，＋∞)，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　　) (4)若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．不等式6x2＋x－2≤0的解集为(　　) A． B． C． D． 解析：设f(x)＝6x2＋x－2，令f(x)＝0得x＝－或x＝，由二次函数的图像得f(x)≤0的解集为，故选A． 答案：A 3．x2－2x＋1≤0的解集为________． 解析：设f(x)＝x2－2x＋1，令f(x)＝0得x1＝x2＝1， 由二次函数的图像知f(x)≤0的解集为{1}． 答案：{1} 4．一元二次不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a－b＝________． 解析：由题意知－和是ax2＋bx＋2＝0的两根且a＜0，所以 解得所以a－b＝－10. 答案：－10 　求函数的零点(小组探究) 　(链接教材例1)(1)函数f(x)＝x2－3x－4的零点为________． (2)函数f(x)＝ax＋b的一个零点为2，求函数g(x)＝bx2－ax的零点． 【尝试解答】　(1)令x2－3x－4＝0，得x＝4或x＝－1. 【答案】　－1和4 (2)f(x)＝ax＋b有一个零点是2，得2a＋b＝0，则g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax.令－2ax2－ax＝0，则g(x)的零点为0和－. 函数零点的两种求法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． (2)几何法：画出函数y＝f(x)的图像，则图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． 1．函数f(x)＝的零点为________． 解析：当x≠3时f(x)＝x＋3，故零点为－3. 答案：－3 2．函数f(x)＝|x－1|－1的零点为________． 解析：由|x－1|＝1，得x＝0或2，故零点为0和2. 答案：0和2 　解一元二次不等式(变通探究) 角度1　解不含参数的一元二次不等式 　(链接教材例2，例3，例4)(1)不等式x2＋x－2＜0的解集为________． (2)已知函数f(x)＝解不等式f(x)＞2. 【尝试解答】　(1)易得不等式x2＋x－2＜0的解集为(－2，1)． 【答案】　(－2，1) (2)原不等式等价于或即或解得x＞2. 所以不等式f(x)＞2的解集为{x|x＞2}． 函数法解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式； (3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； (4)根据函数图像与x轴的相关位置写出不等式的解集． 角度2　解含参数的一元二次不等式 　解关于x的不等式ax2－(a＋2)x＋2≥0(a＜0)． 【尝试解答】　原不等式可