3.1.3 第2课时 函数奇偶性的应用-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

第2课时　函数奇偶性的应用 [素养目标]　1.掌握函数奇偶性与单调性的关系，发展逻辑推理素养．　2.能研究简单函数的性质，并能作图像，提升直观想象素养． 　函数奇偶性与单调性的应用 1．若f(x)为奇函数，且在区间[a，b](0＜a＜b)上是增(减)函数，则f(x)在区间[－b，－a]上是增(减)函数；若f(x)为偶函数，且在区间[a，b](0＜a＜b)上是增(减)函数，则f(x)在区间[－b，－a]上是减(增)函数．即奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反． 2．若函数f(x)的定义域为R，且满足f(－x)＋f(x)＝0，则其图像关于点(0，0)对称． 若函数f(x)的定义域为R，且满足f(－x)＝f(x)，则其图像关于直线x＝0对称． [预习诊断] 1．若f(x)是定义在[－6，6]上的偶函数，且f(4)＞f(1)，则下列各式一定成立的是(　　) A．f(0)＜f(6)　　　　 B．f(4)＞f(3) C．f(2)＞f(0) D．f(－1)＜f(4) 解析：∵f(x)是定义在[－6，6]上的偶函数， ∴f(－1)＝f(1)．又f(4)＞f(1)，所以f(4)＞f(－1)． 答案：D 2．若奇函数f(x)在[－6，－2]上是减函数，且最小值是1，则它在[2，6]上是(　　) A．增函数且最小值是－1 B．增函数且最大值是－1 C．减函数且最大值是－1 D．减函数且最小值是－1 解析：∵奇函数f(x)在[－6，－2]上是减函数，且最小值是1，∴函数f(x)在[2，6]上是减函数且最大值是－1. 答案：C 3．若y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y＝f(x)图像上的是(　　) A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a)) C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a)) 解析：由条件(a，f(a))在y＝f(x)图像上，其关于原点的对称点(－a，－f(a))仍在图像上． 答案：B 4．若偶函数f(x)在(－∞，0]上是增函数，则f(－5)，f()，f(－2)，f(4)的大小关系为________________． 解析：f(x)在[0，＋∞)上是减函数， 又＜2＜4＜5， ∴f()＞f(2)＞f(4)＞f(5)． 即f()＞f(－2)＞f(4)＞f(－5)． 答案：f()＞f(－2)＞f(4)＞f(－5) 　函数单调性和奇偶性的综合应用(变通探究) 角度1　比较大小问题 　(链接教材例3)已知偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　) A．f(π)＞f(－3)＞f(－2) B．f(π)＞f(－2)＞f(－3) C．f(π)＜f(－3)＜f(－2) D．f(π)＜f(－2)＜f(－3) 【尝试解答】　∵f(x)在R上是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)．∵2＜3＜π，且f(x)在区间[0，＋∞)上为增函数，∴f(2)＜f(3)＜f(π)， ∴f(－2)＜f(－3)＜f(π)．故选A． 答案：A 【变式拓展】 变式　若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，比较这三个数的大小． 解：因为函数为定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，所以函数在R上是增函数， 因为－3＜－2＜π，所以f(－3)＜f(－2)＜f(π)． 角度2　解简单不等式问题 　设定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上是减函数，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围． 【尝试解答】　因为f(x)是奇函数且f(x)在[0，2]上是减函数，所以f(x)在[－2，2]上是减函数． 所以不等式f(1－m)＜f(m)等价于 解得－1≤m＜. 【变式拓展】 变式　将本例“奇函数f(x)在区间[0，2]上是减函数”改为“偶函数f(x)在区间[－2，0]上是减函数”其他不变，如何解？ 解：因为函数为[－2，2]上的偶函数，又函数在[－2，0]上是减函数，所以函数在[0，2]上是增函数， 不等式可化为f(|1－m|)＜f(|m|)， 故可得即 解得＜m≤2.故实数m的取值范围为. 奇偶性与单调性综合问题的两种类型 (1)比较大小： ①自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； ②自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． (2)解不等式： ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解． 1．函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调