3.1.3 第1课时 函数的奇偶性-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

3．1.3　函数的奇偶性 第1课时　函数的奇偶性 [素养目标]　1.结合具体函数，掌握奇函数、偶函数的定义，培养数学抽象素养． 2.理解奇函数、偶函数的图像特征，并学会运用函数奇偶性研究函数的有关性质，提升直观想象素养．　3.了解一般函数的对称性(对称轴、对称中心)，提升逻辑推理素养． 　偶函数 1．一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数． 2．偶函数的图像特征：其图像关于y轴对称． 函数f(x)为偶函数的充要条件是函数y＝f(x)的图像关于y轴对称． [点睛] 1．偶函数定义域的特点：由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以偶函数的定义域关于原点对称． 2．偶函数是相对定义域而言的整体性质，若定义域内有个别x0满足f(－x0)＝f(x0)，则f(x)未必是偶函数． 3．若函数f(x)是偶函数，则有f(－x)＝f(|x|)． 　奇函数 1．一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D且f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)为奇函数． 2．函数f(x)为奇函数的充要条件是函数y＝f(x)的图像关于原点对称． [点睛] 1．同样奇函数的定义域的特点是关于原点对称． 2．若奇函数的定义域为D，且0∈D，则f(0)＝0. [预习诊断] 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)奇、偶函数的定义域都关于原点对称．(　　) (2)函数f(x)＝x2＋|x|的图像关于原点对称．(　　) (3)对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，则函数f(x)一定是偶函数．(　　) (4)奇函数的图像一定过原点．(　　) 答案：(1)√.由奇、偶函数的定义可知x和－x同时在定义域之中，所以奇、偶函数的定义域都关于原点对称． (2)×.函数f(x)＝x2＋|x|是偶函数，所以其图像关于y轴对称． (3)×.对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(－x)＝f(x)，则函数f(x)才是偶函数． (4)×.若0在定义域内，则图像一定过原点，否则不过原点，如函数y＝(x≠0)的图像． 2．若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为(　　) A．－2　 B．2　　 C．0　 D．不能确定 解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2. 答案：B 3．下列图像表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号) 解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数． 答案：(2)(4)　(1)(3) 4．若f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)＝2，则f(－3)＝________，f(0)＝________． 解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0. 答案：－2　0 　函数奇偶性的判断(小组探究) 　(链接教材例1)判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝； (2)f(x)＝x3－2x； (3)f(x)＝＋； (4)f(x)＝ 【尝试解答】　(1)∵函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，∴f(x)既不是奇函数又不是偶函数． (2)函数的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝2x－x3＝－f(x)，∴f(x)是奇函数． (3)由得x2＝1， 即x＝±1，∴函数的定义域为{－1，1}，关于原点对称． 又f(1)＝f(－1)＝0，∴f(x)即是奇函数又是偶函数． (4)作出函数f(x)的图像如图．由图像可知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，并且f(x)的图像关于y轴对称，故f(x)是偶函数． 判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法： (2)图像法： 【变式拓展】 变式 本例(2)变为f(x)＝x3－2x＋a(a是常数)，讨论f(x)的奇偶性． 解：f(x)的定义域为R， 当a＝0时，由例(2)解析知f(x)是奇函数； 当a≠0时，f(－1)＝－1＋2＋a＝1＋a， －f(1)＝－(－1＋a)＝1－a. 由于a≠0，∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)， 故f(x)既不是奇函数也不是偶函数． 　奇函数、偶函数的图象问题(变通探究) 　已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已给出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示． (1)请补充完整函数y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间； (3)根据图象写出使f(x)＜0的x的取值集合． 【尝试解答】　(1)由题意作出函数图象如图： (2)据图可知，函数的单调增区间为(－1，0)，(1，＋∞)． (3)据图可知，使f(x)＜0的x