3.1.2 第2课时 函数的最值、平均变化率-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

第2课时　函数的最值、平均变化率 [素养目标]　1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义，培养数学抽象素养．　2.了解直线的斜率概念，掌握函数的平均变化率概念并能简单应用，提升直观想象、逻辑推理素养． 　函数的最大(小)值 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)(记作fmax＝f(x0))，而x0称为f(x)的最大值点；如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)(记作fmin＝f(x0))，而x0称为f(x)的最小值点．最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点． [点睛] 最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的所有元素，都有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))成立． 　函数的平均变化率 一般地，若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，＝(即＝)，则： (1)为过两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))直线的斜率． (2)为函数y＝f(x)在[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率； (3)y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是＞0在I上恒成立； (4)y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是＜0在I上恒成立． [点睛] 1．对于函数y＝f(x)来说，若记Δx＝x2－x1，则相应的Δy＝y2－y1＝f(x2)－f(x1)． 2．函数图像上任意两点的斜率的符号直观反映了函数图像上升或下降的变化状态，即单调性，因此可用这个结论证明函数的单调性． [预习诊断] 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数f(x)都有最大值和最小值．(　　) (2)若存在实数M，使f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值．(　　) (3)若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小值是f(a)，最大值是f(b)．(　　) (4)过函数图像上任意两点直线的斜率一定存在．(　　) 答案：(1)×.反例：f(x)＝x既无最大值，也无最小值． (2)×.若使M是f(x)的最大值，还需在f(x)的定义域内存在x0，使f(x0)＝M. (3)√.由于f(x)在区间[a，b]上是增函数，所以f(a)≤f(x)≤f(b)，故f(x)的最小值是f(a)，最大值是f(b)． (4)√.根据函数的定义，当x1≠x2，＝一定存在． 2．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])的最小、最大值分别为(　　) A．3，5　 B．－3，5　 　 C．1，5　 D．－5，3 解析：因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])是单调递减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5. 答案：B 3．函数f(x)＝在[1，＋∞)上(　　) A．有最大值无最小值 B．有最小值无最大值 C．有最大值也有最小值 D．无最大值也无最小值 解析：结合函数f(x)＝在[1，＋∞)上的图像， 可知函数有最大值无最小值． 答案：A 4．函数y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________． 解析：函数y＝2x2＋2在(0，＋∞)上是增函数，又因为x∈N*，所以当x＝1时，ymin＝2×12＋2＝4. 答案：4 　函数的平均变化率与单调性(小组探究) 　(链接教材例3、例4、例5)教材例6中用描点法作出了函数f(x)＝的图象，观察知：f(x)的增区间为[0，＋∞)，这个结论是否正确，你能证明吗？ 【尝试解答】　这个结论正确，证明如下：设x1，x2∈[0，＋∞)，并且x1≠x2，则＝＝＝，∵x1，x2∈[0，＋∞)，∴＋＞0，从而＞0，故f(x)在[0，＋∞)上是增函数． 利用函数的平均变化率证明单调性的步骤 (1)任取x1，x2∈D，且x1≠x2. (2)计算f(x2)－f(x1)，. (3)根据x1，x2的范围判断的符号，确定函数的单调性． 1．已知函数f(x)＝. 判断函数f(x)在区间[0，＋∞)上的单调性，并用平均变化率证明其结论． 解：f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数． 证明如下：任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2， f(x2)－f(x1)＝－ ＝－ ＝. 所以＝＝. 因为x1，x2∈[0，＋∞)，所以(x1＋1)(x2＋1)>0，所以>0，所以函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数． 　图像法求函数的最值(互动探究) 　(1)已知函数f(x)在区间[－2，5]上的图像如图所示，则此函数的最小值点，最大值分别为(　　) A．－3，5 B．－3，f