3.1.2 第1课时 函数的单调性-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

3．1.2　函数的单调性 第1课时　函数的单调性 [素养目标]　1.理解函数单调性的含义，掌握利用定义证明函数的单调性的方法，培养逻辑推理核心素养．　2.能够利用定义或图像求函数的单调区间，能够利用函数的单调性解决有关问题，培养直观想象和数学运算核心素养． 　增函数、减函数的定义 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且区间I⊆D： (1)如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称y＝f(x)在区间I上是增函数(也称在区间I上单调递增)． (2)如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称y＝f(x)在区间I上是减函数(也称在区间I上单调递减)． 函数 增函数 减函数 图示 [点睛] 增减函数定义中x1，x2的三个特征 (1)任意性：定义中“任意”二字不能去掉，应用时不能以特殊代替一般． (2)有大小：一般令x1＜x2. (3)同区间：x1和x2属于同一个单调区间． 　函数的单调性与单调区间 [点睛] 单调性的两个特征 (1)“整体”性：单调函数在同一个单调区间上具有的性质是相同的． (2)“局部”性：指的是一个函数在定义域的不同区间内可以有不同的单调性． [预习诊断] 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知f(x)＝x2，因为f(－1)＜f(2)，所以函数f(x)在R上是增函数．(　　) (2)若函数y＝f(x)在区间D上是增函数，则函数y＝－f(x)在区间D上是减函数．(　　) (3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　) 答案：(1)×.由函数单调性的定义可知，要证明一个函数是增函数，需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大，函数值也越大，而不是个别的自变量． (2)√.区间D中的任意两个自变量的值x1，x2.因为函数y＝f(x)在区间D上是增函数，所以当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，所以－f(x1)＞－f(x2)，所以函数y＝－f(x)在区间D上是减函数． (3)×.函数y＝的单调递减区间应是(－∞，0)，(0，＋∞)．不能写成(－∞，0)∪(0，＋∞)． 2．函数y＝－2x2＋3x的单调减区间是(　　) A．[0，＋∞)　　　　　 B．(－∞，0) C． D． 解析：借助图象得y＝－2x2＋3x的单调减区间是. 答案：D 3．若f(x)在R上是增函数，且f(x1)＞f(x2)，则x1，x2的大小关系为________． 解析：因为f(x)在R上是增函数，且f(x1)＞f(x2)，所以x1＞x2. 答案：x1＞x2 4．若函数y＝(k＋1)x在R上是增函数，则k的取值范围是________． 解析：因为函数y＝(k＋1)x在R上是增函数， 所以k＋1＞0，解得k＞－1. 答案：(－1，＋∞) 　利用函数图像确定单调区间(小组探究) 　(1)函数y＝f(x)，x∈[－4，4]的图象如图所示，则函数f(x)的所有单调递减区间为(　　) A．[－4，－2] B．[1，4] C．[－4，－2]，[1，4] D．[－4，－2]∪[1，4] (2)求下列函数的单调区间，并指出其在单调区间上是增函数还是减函数： ①y＝3x－2；②y＝－ 【尝试解答】　(1)由题干图可得，f(x)在[－4，－2]上递减，在[－2，1]上递增，在[1，4]上递减，所以 可得f(x)的单调递减区间为[－4，－2]，[1，4]． 【答案】　C (2)①函数y＝3x－2的单调区间为R，其在R上是增函数． ②函数y＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)及(0，＋∞)上均为增函数． 函数单调性的几何意义：在单调区间上，若函数的图像“上升”，则为增区间；若函数的图像“下降”，则为减区间．因此借助于函数图像来求函数的单调区间是直观且有效的一种方法．除这种方法外，求单调区间时还可以使用定义法，也就是由增函数、减函数的定义求单调区间．求出单调区间后，若单调区间不唯一，中间可用“，”隔开． 1．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间． 解：y＝－x2＋2|x|＋3＝ 作函数图象如图所示． 函数在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数，函数在[－1，0]，[1，＋∞)上是减函数．所以函数的单调递增区间是(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间是(－1，0)和(1，＋∞)． 　用定义法证明(判断)函数的单调性(变通探究) 　(链接教材例1)求证：函数f(x)＝x＋在区间(0，1)内为减函数． 【尝试解答】　设x1，x2是区间(0，1)内的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－ ＝(x1－x2)＋＝(x1－x2) ＝. ∵0＜x1＜x2＜1，∴x1x2＞0，x1x2－1＜0，x