3.1.1 第2课时 函数的表示方法-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

第2课时　函数的表示方法 [素养目标]　1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点．培养数学抽象素养．　2.在实际问题中，能够选择恰当的表示法来表示函数．培养数学建模素养．　3.通过具体实例，掌握分段函数，并能简单应用．提升数学运算素养． 　函数的表示方法 解析法 能用代数式(或解析式)来表示函数的方法 图象法 用函数的图象表示函数的方法 列表法 用列表的形式表示函数的方法 [拓展] 对三种表示法的说明 (1)列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性． (2)图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点． (3)解析法：利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域． 　分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数． [点睛] 分段函数的两点说明 (1)定义域、值域：分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集，值域也是各段上函数值组成的集合的并集． (2)图像：分段函数的图像由几部分构成，有的可以是光滑的曲线，有的也可以是一些孤立的点、线段、射线、直线等． [预习诊断] 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用解析法表示．(　　) (2)任何一个函数都可以用图象法表示．(　　) (3)函数f(x)＝2x＋1不能用列表法表示．(　　) (4)函数的图像一定是一条连续不断的曲线．(　　) 答案：(1)×.有些函数不能用解析法表示． (2)×.有些函数是不能画出图象的，如f(x)＝ (3)√.函数f(x)＝2x＋1的定义域是连续的数集，不能用列表法表示． (4)×.有些函数的图像不是一条连续不断的曲线，如f(x)＝的图象就不是连续的曲线． 2．函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是(　　) A．R B．(－∞，1)∪(1，＋∞) C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－1，0) 答案：C 3．已知函数f(x)＝则f(2)等于(　　) A．0　　 B．　　 　 C．1　　 D．2 解析：f(2)＝＝1. 答案：C 4．已知f(x－1)＝x2，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝x2－2x－1 B．f(x)＝x2－2x＋1 C．f(x)＝x2＋2x－1 D．f(x)＝x2＋2x＋1 解析：令x－1＝t，则x＝t＋1，所以f(t)＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1，即f(x)＝x2＋2x＋1. 答案：D 　求函数的解析式(小组探究) 　(1)(链接教材例8)已知f(2x)＝＋3，则f(x)＝(　　) A．＋3　　　　　　　　 B．－＋3 C．＋3 D．－＋3 (2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)． 【尝试解答】　(1)因为f(2x)＝＋3，所以f(x)＝＋3. 答案：A (2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2. 由f(x＋1)－f(x)＝x－1，得恒等式2ax＋a＋b＝x－1， 则解得a＝，b＝－. 故所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋2. 求函数解析式的常见类型及解法 (1)已知类型：函数类型已知，一般用待定系数法，但对于二次函数问题要注意一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)， 两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)的选择． (2)已知f[g(x)]型：解答已知f[g(x)]求f(x)型问题可采用配凑法，也可采用换元法． (3)函数方程问题，需建立关于f(x)的方程组，若函数方程中同时出现f(x)，f，则一般x用代之；若同时出现f(x)，f(－x)，一般用－x代替x，构造另一个方程． 1．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7 C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x－10 解析：设t＝x－1，∴x＝t＋1， ∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t， ∴f(x)＝x2＋6x，选A． 答案：A 2．已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)． 解：∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，① ∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.② ∴由①②得3f(x)＝x2－6x，∴f(x)＝x2－2x. 　函数的图象及简单应用(变通探究) 　(链接教材例6)作出下列函数的图象，并求其值域： (1)y＝1－x(x∈Z)； (2)y＝2x2－4x－3(0≤x＜3)． 【尝试解答】　(1)因为x∈Z，所以函数图象为一条直线上的孤立点(如图①)，由图象知，函数的值域为Z.