3.1.1 第1课时 函数的概念-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

3．1　函数的概念与性质 3．1.1　函数及其表示方法 第1课时　函数的概念 [素养目标]　1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．理解函数的概念，培养数学抽象素养．　2.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，提升数学运算素养． 　函数的概念 概 念 一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，按照对应关系f，在集合B中都有唯一确定的实数y＝f(x)与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量． 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A． 定义域 自变量取值的范围． 值域 所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}. [点睛] 1.对函数概念的四点说明 (1)对数集的要求：集合A，B为非空数集． (2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性． (3)对符号“f”的认识：它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样． (4)函数三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可． 2．函数符号“y＝f(x)”的含义 函数符号“y＝f(x)”表示y是x的函数，x是自变量，f是对应关系，y是x对应的函数值，f(x)是一个整体符号，不是f与x的乘积． [预习诊断] 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f(3)表示当自变量x＝3时，函数y＝f(x)的函数值．(　　) (2)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.(　　) (3)在函数的定义中，集合B是函数的值域．(　　) 答案：(1)√.由函数的定义可知，此说法正确． (2)×.根据函数的定义，对于定义域中的任何一个x，在值域中都有唯一的y与之对应． (3)×.在函数的定义中，函数的值域是集合B的子集． 2．已知函数g(x)＝2x2－1，则g(1)＝(　　) A．－1　　　 B．0　　　 C．1　　　 D．2 解析：g(1)＝2×12－1＝1. 答案：C 3．函数f(x)＝的定义域是(　　) A．(－∞，4) B．(－∞，4] C．(4，＋∞) D．[4，＋∞) 解析：由4－x＞0，解得x＜4，所以原函数的定义域为(－∞，4)． 答案：A 4．(多选题)下列各组函数中表示相同函数的是(　　) A．y＝与y＝x＋3 B．y＝与y＝ C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0) D．y＝2t＋1，t∈Z与y＝2t－1，t∈Z 解析：A组中两函数定义域不同，D组中两函数的对应关系不同，B、C组中定义域与对应关系均相同，故选BC． 答案：BC 　函数的概念及求函数值(小组探究) 　(1)分别判断f是否为A上的一个函数． ①A＝R，B＝(0，＋∞)，f为“取绝对值”； ②A＝Z，B＝Z，f为“求平方”； ③A＝Z，B＝Z，f为“求算术平方根”． (2)已知函数f(x)＝，g(x)＝2x＋1. ①求f(1)，g(1)的值； ②求f(g(2))的值； ③求f(a－1)，g(a＋1)的值． (3)已知f(x)＝，x∈R. ①计算f(a)＋f的值； ②计算f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2023)＋f＋f＋f＋…＋f的值． 【尝试解答】　(1)①A中的元素0在B中没有对应元素，故f不是A上的函数． ②对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故f是A上的函数． ③集合A中的负整数没有算术平方根，在集合B中没有对应的元素，故f不是A上的函数． (2)①f(1)＝＝，g(1)＝2×1＋1＝3； ②由g(2)＝2×2＋1＝5， 所以f(g(2))＝f(5)＝＝. ③f(a－1)＝＝， g(a＋1)＝2×(a＋1)＋1＝2a＋3. (3)①由于f(a)＝，f＝＝，所以f(a)＋f＝1. ②由①知f(a)＋f＝1， 从而f(2)＋f＝f(3)＋f＝f(4)＋f＝…＝f(2023)＋f＝1，故＋＋[f(4)＋f]＋…＋＝2022，而f(1)＝，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2023)＋f＋f＋f＋…＋f＝2022＋＝. 1．判断某一对应关系是否为函数的步骤 (1)A，B为非空数集． (2)A中任一元素在B中有元素与之对应． (3)B中与A中元素对应的元素唯一． 2．函数求值的方法 (1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值． (2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． 注意：用来替换表达式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义． 1．设f(x)＝2x2＋1，g(x)＝. (1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(