2.2.4 第2课时 均值不等式的应用-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

第2课时　均值不等式的应用 [素养目标]　1.会用均值不等式解决有约束条件的代数式问题，提升数学运算素养． 2.能利用均值不等式证明简单的不等式，提升逻辑推理素养．　3.会用均值不等式解决生产、生活中的最值问题，培养数学建模素养． 　与均值不等式有关的常见重要结论 1．a，b∈(0，＋∞)时，a＋b≥2． 2．a，b∈R时，a2＋b2≥2ab，≥≥ab． 3．a，b∈(0，＋∞)时， ≥≥≥(以上当且仅当a＝b时等号成立)． 　均值不等式与最值问题 当x，y均为正数时，下面的命题均成立： (1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y＝时，xy取得最大值； (2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y＝时，x＋y取得最小值2． [预习诊断] 1．若x2＋y2＝4，则xy的最大值为________． 解析：xy≤＝2，当且仅当x＝y＝时取“＝”． 答案：2 2．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________． 解析：1＝x＋4y≥2＝4， ∴xy≤，当且仅当x＝4y＝时等号成立． 答案： 3．已知x＞0，则f(x)＝的最大值为________． 解析：f(x)＝＝. ∵x＞0，∴x＋≥2 ＝2， ∴f(x)≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立． 答案：1 4．设a＞0，b＞0，证明：＋≥a＋b. 证明：∵a＞0，b＞0，∴＋a≥2b，＋b≥2a， ∴＋≥a＋b. 　利用均值不等式证明简单不等式(互动探究) 　(链接教材例5，例6)已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：≥8. 【尝试解答】　因为a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1， 所以－1＝＝≥. 同理，－1≥，－1≥. 上述三个不等式两边均为正， 相乘得≥··＝8，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号． 利用均值不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用均值不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之满足能使用均值不等式的条件；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中隐含有“1”时，要注意“1”的代换．另外，解题过程中要时刻注意等号能否取到． 1．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则(　　) A．a<v<　　　　　　 B．v＝ C．<v< D．v＝ 解析：设甲、乙两地的距离为S，则从甲地到乙地所需时间为，从乙地到甲地所需时间为，又因为a<b，所以全程的平均速率为v＝＝<＝，>＝a，即a<v<. 答案：A 　求有约束条件的代数式的最值(变通探究) 　(链接教材例4)已知x，y是正实数，且2x＋5y＝20. (1)求xy的最大值； (2)求＋的最小值． 【尝试解答】　(1)∵x＞0，y＞0， ∴由均值不等式，得≥＝. ∵2x＋5y＝20， ∴≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立． 因此有解得此时xy有最大值10. (2)∵x＞0，y＞0， ∴＋＝·＝≥＝， 当且仅当＝时，等号成立． 由解得 ∴＋的最小值为. 【变式拓展】 变式1　若本例变为正数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值为________． 解析：由xy＝2x＋y＋6≥2＋6，设t＝＞0，即t2≥2t＋6，(t－3)(t＋)≥0，∴t≥3，则xy≥18，当且仅当2x＝y，2x＋y＋6＝xy，即x＝3，y＝6时等号成立，∴xy的最小值为18. 答案：18 变式2　若本例变为：设x＞0，y＞1，若x＋y＝2.则＋的最小值为________． 解析：因为x＋(y－1)＝1，且x＞0，y－1＞0，所以[x＋(y－1)]＝3＋＋＋1≥4＋2＝4＋2，等号成立的条件是＝，即x＝，y＝. 答案：4＋2 利用均值不等式求条件最值的方法 2．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　) A．　　 B．2　　　 C．2　　 D．4 解析：法一：由已知得＋＝＝，且a>0，b>0，∴ab＝b＋2a≥2·，当且仅当b＝2a时等号成立，∴ab≥2. 法二：由题设易知a>0，b>0， ∴＝＋≥2， 当且仅当b＝2a＝2时等号成立， ∴ab≥2. 答案：C 　均值不等式的实际应用(难点探究) 　(链接教材例3)某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800 m3，深为3 m．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 【审题指导】　贮水池呈长方体形，它的高是3 m，池底的边长没有确定．如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了．因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低． 【素养立意】　本题考查均值不等式的实际应用，突出考查数学建模素养． 【尝试解答】　设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为x m，