2.2.4 第1课时 均值不等式-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

2．2.4　均值不等式及其应用 第1课时　均值不等式 [素养目标]　1.掌握均值不等式，并能求解函数的最值，提升数学运算素养．　2.会用均值不等式比较代数式的大小，培养逻辑推理素养． 　算术(几何)平均值及均值不等式 如果a＞0，b＞0 (1)a，b的算术平均值为，几何平均值为． (2)均值不等式≥，当且仅当a＝b 时，等号成立． [点睛] 1．均值不等式成立的条件是a＞0，b＞0，并且当a＝b且只有这唯一的条件下等号才成立． 2．(1)当a＞0，b＞0时，≥⇔≥ab； (2)当a与b同号，即ab＞0时，＋≥2，当且仅当a＝b时等号成立． [预习诊断] 1．设a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a－b＜0　　　　　　　 B．0＜＜1 C．＜ D．ab＞a＋b 解析：∵a＞b＞0，由均值不等式知＜一定成立． 答案：C 2．不等式＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是(　　) A．x＝3 B．x＝－3 C．x＝5 D．x＝－5 解析：由均值不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)． 答案：C 3．给出下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0.其中能使＋≥2成立的条件有(　　) A．1个　　　 B．2个　　　 C．3个　　　 D．4个 解析：当，均为正数时，＋≥2，故只须a，b同号即可，∴①③④均可以．故选C． 答案：C 4．若x＞0，则y＝4x＋的最小值为________． 解析：因为x＞0，所以y＝4x＋≥2 ＝2＝12，当且仅当4x＝，即x＝时，y＝4x＋取最小值． 答案：12 　对均值不等式的理解(小组探究) 　(链接教材例2)给出下面三个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴＋≥2 ＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2 ＝4； ③∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－≤－2 ＝－2. 其中正确的推导为(　　) A．①②　　　　　　　　 B．①③ C．②③ D．①②③ 【尝试解答】　①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确． ②∵a∈R，a≠0，不符合均值不等式的条件， ∴＋a≥2 ＝4是错误的． ③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确． 【答案】　B 均值不等式使用的条件 利用均值不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵；“一正”是，要判断参数是否为正；“二定”是，要看和或积是否为定值(和定积最大，积定和最小)；“三相等”是，一定要验证等号能否成立(主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用“≥”或“≤”时等号能否同时成立)． 1．给出下列命题：①若x∈R，则x＋≥2； ②若a＜0，b＜0，则ab＋≥2； ③不等式＋≥2成立的充要条件是x＞0且y＞0.其中正确命题的序号是________． 解析：①只有当x＞0时，才能由均值不等式得到x＋≥2 ＝2，故①错误；②当a＜0，b＜0时，ab＞0，由均值不等式可得ab＋≥2＝2，故②正确；③由均值不等式可知，当＞0，＞0时，有＋≥2 ＝2成立，这时只需x与y同号即可，故③错误． 答案：② 　求一元函数的最值(变通探究) 　(链接教材例1)(1)函数y＝(x＞1)的最小值是________． (2)已知x＜，求函数y＝4x－1＋的最大值． 【尝试解答】　(1)y＝＝ ＝(x－1)＋＋2， 因为x＞1，所以x－1＞0， 所以(x－1)＋＋2≥2＋2， 当且仅当x－1＝，即x＝1＋时等号成立． 【答案】　2＋2 (2)因为x＜，所以4x－5＜0，故5－4x＞0. y＝4x－1＋＝－＋4. 因为5－4x＋≥2 ＝2， 所以y≤－2＋4＝2，当且仅当5－4x＝，即x＝1或x＝(舍)时，等号成立，故当x＝1时，ymax＝2. 利用均值不等式求最值的方法 (1)若“一正二定三相等”中的条件满足时，直接用公式求解． (2)若条件不满足时，则需对条件作适当调整和转化，使其满足． 2．(教材共享·苏教好题)甲、乙两同学分别解“设x≥1，求函数y＝2x2＋1的最小值”的过程如下： 甲同学：y＝2x2＋1≥2＝2x， 又x≥1，所以2x≥2. 从而y≥2x≥2，即y的最小值是2. 乙同学：因为y＝2x2＋1在x≥1时的图象随着x增大而逐渐上升，即y随x增大而增大， 所以y的最小值是2×12＋1＝3. 试判断谁错，错在何处？ 提示：甲错．甲直接利用均值不等式求最值，忽略了不等式成立的条件． 当2x2＋1≥2时，有2x2＝1，此时x不在范围内，故此题不能用均值不等式求解． 乙正确．利用函数图象，由图象判断y的最小值． 　利用均值不等式比较大小(难点探究) 　(链接教材习题2－2A2题)设0＜a＜b