2.2.3 一元二次不等式的解法-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

2.2.3　一元二次不等式的解法 [素养目标]　1.会解一元一次不等式组，培养直观想象素养．　2.会用因式分解法、配方法解一元二次不等式，提升数学运算素养． 　一元一次不等式组的解集 1．ab＞0⇔a与b同号(a≠0且b≠0)⇔或. 2．ab＜0⇔a与b异号⇔或. [点睛] 不等式组的解集即不等式组中各个不等式解集的交集． 　一元二次不等式 1．形如ax2＋bx＋c＞0(其中a，b，c为常数，a≠0)的不等式称为一元二次不等式． 2．用因式分解法解一元二次不等式． (1)当ax2＋bx＋c能方便因式分解时，才能用此法； (2)一般地，如果x1＜x2，则不等式(x－x1)(x－x2)＜0的解集是(x1，x2)；不等式(x－x1)(x－x2)＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)． 3．用配方法解一元二次不等式 关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)通过配方总是可以等价为(x－h)2＞k或(x－h)2＜k的形式，然后根据k的正负等知识就可以得到原不等式的解集． [预习诊断] 1．不等式组的解集是________． 答案：[－2，2) 2．不等式组的解集是∅，则实数a的范围是________． 解析：借助数轴可知a≥1. 答案：[1，＋∞) 3．不等式2x2－x－1＞0的解集为________． 解析：∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)＝2(x－1) 由2x2－x－1＞0⇔(x－1)＞0， 故不等式的解集为∪(1，＋∞)． 答案：∪(1，＋∞) 4．求不等式3x2－6x－8＜0的解集． 解：3x2－6x－8＜0⇔x2－2x－＜0⇔(x－1)2＜，即|x－1|＜，从而1－＜x＜1＋，故不等式的解集为. 　解不含参数的一元二次不等式(小组探究) 　(链接教材例1、例2)求下列不等式的解集． (1)x2－8x＋15＞0 (2)－x2－2x＞－3 (3)－2x2＋3x－2＜0 (4)－x2＋3x－5＞0 【尝试解答】　(1)x2－8x＋15＞0⇔(x－5)(x－3)＞0，因此不等式的解集为(－∞，3)∪(5，＋∞)． (2)原不等式化为x2＋2x－3＜0，即(x＋1)2＜4， 即|x＋1|＜2，故－3＜x＜1， 因此不等式的解集为(－3，1)． (3)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0， 即x2－x＋1＞0，配方得＋＞0恒成立， 因此不等式的解集为R. (4)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，即(x－3)2＋1＜0，无解．因此不等式的解集为∅. 解一元二次不等式的常用方法 (1)将一元二次不等式化为x2＋bx＋c＞0(或＜0)形式． (2)若x2＋bx＋c容易因式分解，就用因式分解法求解． (3)若不易因式分解，就用配方法求解． 1．求下列不等式的解集． (1)x2－5x＞14 (2)－7x2＋7x＞6 解：(1)原不等式化为x2－5x－14＞0，即(x＋2)(x－7)＞0，因此不等式的解集为(－∞，－2)∪(7，＋∞)． (2)原不等式化为x2－x＋＜0， 即＋＜0，无解．因此不等式的解集为∅. 　解简单的分式不等式(互动探究) 　(链接教材例3)求不等式≥1的解集． 【尝试解答】　依题意x－4≠0，因此(x－4)2>0， 故(2x－3)(x－4)≥(x－4)2且x－4≠0， 即(x＋1)(x－4)≥0且x≠4， 故所求不等式的解集为(－∞，－1]∪(4，＋∞)． 解简单的分式不等式可通过去分母，转化为整式不等式，但要注意分母的正负，正确同解变形，不要漏掉分母不等于零． 一般的分式不等式的同解变形法则 (1)>0⇔f(x)·g(x)>0. (2)≤0⇔ (3)≥a⇔≥0⇔f(x)·g(x)≥a[g(x)]2且g(x)≠0. 【变式拓展】 2．若本例2变为≥1如何解？ 解：∵(x－4)2>0，∴原不等式可化为3x－2≥(x－4)2且x≠4，解得2≤x≤9且x≠4， 故原不等式的解集为[2，4)∪(4，9]． 　解含参数的一元二次不等式(变通探究) 　求关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0(其中a＞0且为常数)的解集． 【尝试解答】　不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0可化为(ax－1)(x－2)＜0.由于a＞0，故不等式可化为(x－2)＜0. ①若0＜a＜，则＞2， 此时不等式的解集为{x}． ②若a＝，则不等式为(x－2)2＜0，此时不等式的解集为∅. ③若a＞，则＜2，此时不等式的解集为{x}．综上可知： 当0＜a＜时，不等式的解集为. 当a＝时，不等式的解集为∅. 当a＞时，不等式的解集为. 【变式拓展】 变式　若本例将“a＞0”改为“a∈R”，如何解？ 解：不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0可化为(ax－1)(x－2)＜0. (1)当a＞0时，不等式可化为(x－2)＜0. ①若0＜a＜，则＞