2.1.3 方程组的解集-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

2．1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 2．1.3　方程组的解集 [素养目标]　1.会解一元二次方程，掌握根与系数的关系，提升数学运算素养．　2.理解方程组解集的意义，会解简单二元二次方程组，培养运算求解能力． 　一元二次方程的解集 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解集 (1)当Δ＝b2－4ac＞0时方程的解集为． (2)当Δ＝b2－4ac＝0时方程的解集为． (3)当Δ＝b2－4ac＜0时解集为∅. [点睛] 用配方法推导出的求根公式，可直接使用，但要注意Δ＝b2－4ac符号的讨论． 　一元二次方程根与系数的关系 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)， 当Δ＞0时，方程的解为x1，x2. 则x1＋x2＝－，x1x2＝． [点睛] 1．一元二次方程根与系数的关系常称韦达定理，今后可直接使用． 2．应用韦达定理的前提是在实数范围内，方程的两实根存在，即Δ＝b2－4ac≥0. 　方程组的解集 1．一般地，将多个方程联立，就能得到方程组，方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集． 2．关于x、y、z的三元方程组解集的形式{(x，y，z)|…}． [预习诊断] 1．关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(　　) A．m＜3　　　　　　　　 B．m＞3 C．m≤3 D．m≥3 解析：Δ＝(－2)2－4m＞0即m＜3，故选A． 答案：A 2．一元二次方程x2－6x－6＝0配方后化为(　　) A．(x－3)2＝15 B．(x－3)2＝3 C．(x＋3)2＝15 D．(x＋3)2＝3 解析：x2－6x－6＝(x－3)2－9－6＝(x－3)2－15. 即(x－3)2＝15，故选A． 答案：A 3．关于x的一元二次方程(k－1)x2＋6x＋k2－k＝0的一个根是0，则k的值是________． 解析：由韦达定理知＝0且k－1≠0，故k＝0. 答案：0 4．若二元一次方程组的解集为{(x，y)|(a，b)}则a－b的值为________． 解析：将二元一次方程组的解代入方程组得再把方程组中两方程相加得4a－4b＝7，解得a－b＝. 答案： 　解一元二次方程(小组探究) 　(链接教材例1)求下列方程的解集． (1)x2－3x－28＝0； (2)2y4－5y2－3＝0； (3)关于x的方程mx2＋2x＋1＝0(其中m为常数)． 【尝试解答】　(1)原方程变为(x－7)(x＋4)＝0， 解得x1＝7，x2＝－4，故方程的解集为{－4，7}． (2)设x＝y2≥0，则原方程化为2x2－5x－3＝0， 即(2x＋1)(x－3)＝0，解得x＝－或x＝3. ∵x≥0，∴y2＝3， 即y＝±，所以原方程的解集为{－，}． (3)当m＝0时，方程变为2x＋1＝0，解得x＝－，方程的解集为； 当m≠0时，Δ＝4－4m， 若m＞1，则Δ＜0，方程无解，方程的解集为∅； 若m＝1，则Δ＝0，解得x＝－1，方程的解集为{－1}； 若m＜1，则Δ＞0， 解得x1＝，x2＝. 方程的解集为. 一元二次方程的解法 (1)配方法 比较适合配方法的情形是“二次项系数为1，一次项系数为偶数”的一元二次方程． (2)公式法 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，且a≠0)的求根公式：x＝(b2－4ac≥0)． (3)因式分解法 通过提公因式法、公式法等因式分解的方法，把方程化为形如(ax－b)(cx－d)＝0的形式，则ax－b＝0或cx－d＝0. 1．(1)－－2＝0； (2)3x2＋15x＋2＝2. 解：(1)令＝t，则原方程可化为t2－t－2＝0， 解得t＝2或t＝－1. 当t＝2时，＝2，解得x＝－1； 当t＝－1时，＝－1，解得x＝. 经检验，原方程的解集为. (2)令＝t(t≥0)， 则原方程化为3t2＋2t－5＝0， 解得t1＝1，t2＝－(舍去)． 所以＝1. 即x2＋5x＝0，解得x1＝－5，x2＝0. 所以原方程的解集为{－5，0}． 　一元二次方程根与系数关系的应用(重点探究) 　(链接教材例2)关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，问是否存在这样的实数k，使得|x1|－|x2|＝？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由． 【尝试解答】　(1)根据题意，得b2－4ac＞0. ∴[－(2k－1)]2－4×1×(k2－2k＋3)＞0. 解得k＞，即实数k的取值范围是k＞. (2)存在．由根与系数的关系，得x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2－2k＋3. ∵k2－2k＋3＝(k－1)2＋2＞0，即x1x2＞0， ∴x1，x2同号．∵x1＋x2＝2k