3.3 函数的应用(一)-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

3．3　函数的应用(一) [素养目标]　1.了解和体会函数模型在社会生活及科研中的广泛应用，培养数学抽象素养．　2.初步体会一次函数、二次函数、基本不等式的广泛应用，能运用函数思想解决现实生活中的简单问题，培养数学建模素养．　3.会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题，提升数学运算素养． 　函数模型的实际应用 解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． [预习诊断] 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实际应用问题中自变量的取值范围由所得的函数解析式唯一确定．(　　) (2)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．(　　) (3)利用函数模型求实际应用问题的最值时，要特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符．(　　) 答案：(1)×.实际应用问题中自变量的取值范围由实际问题及函数解析式共同确定． (2)×.在选择实际问题的函数模型时，只要使所有的数据大致符合该函数模型即可． (3)√.由函数实际应用问题的求法可知(3)正确． 2.甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点 解析：甲、乙两人所行路程s完全一致，即为坐标系中的s轴上的s0，显然甲用时少． 答案：D 3．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为(　　) A．200副　　　　　　 B．400副 C．600副 D．800副 解析：由5x＋4000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本． 答案：D 4．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________． 解析：设隔墙的长为x m，矩形面积为S，则S＝x·＝x(12－2x)＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18，所以当x＝3时，S有最大值为18. 答案：3 m 　一次函数与分段函数模型的应用(小组探究) 　(链接教材例1、例2)自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4 t时，每吨为1.80元，当用水超过4 t时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两用户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x. (1)求y关于x的函数； (2)若甲、乙两用户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两用户该月的用水量和水费． 【尝试解答】　(1)当甲的用水量不超过4 t时，即5x≤4， 乙的用水量也不超过4 t，此时 y＝(5x＋3x)×1.8＝14.4x. 当甲的用水量超过4 t，乙的用水量不超过4 t， 即3x≤4且5x＞4时， y＝4×1.80＋3x×1.80＋3×(5x－4) ＝20.4x－4.8. 当甲、乙的用水量都超过4 t，即3x＞4时， y＝24x－9.6， ∴y＝ (2)由于y＝f(x)在各段区间上均为单调递增函数， 所以当x∈时，y≤f＝11.52＜26.4； 当x∈时，y≤f＝22.4＜26.4； 当x∈时，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5， ∴5x＝7.5，甲用户用水量为7.5 t， 水费S1＝4×1.80＋3.5×3＝17.70(元)； 3x＝4.5，乙用户用水量为4.5 t， 水费S2＝4×1.80＋0.5×3＝8.70(元)． 分段函数模型应用的两个注意点 (1)分段对待：分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的取值范围，特别是端点值． (2)原则：构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏． 1．WAP手机上网每月使用量在500 min以下(包括500 min)，按30元计费；超过500 min的部分按0.15元/min计费．假如上网时间过短(小于60 min)使用量在1 min以下不计费，在1 min以上(包括1 min)按0.5元/min计费．WAP手机上网不收通话费和漫游费． (1)写出上网时间x min与所付费用y元之间的函数关系式； (2)12月份小王WAP上网使用量为20 h，要付多少钱？ (3)小王10月份付了90元的WAP上网费，那么他上网的时间是多少？ 解：(1)设上网时间为x min，由已知条件所付费用y关于x的函数关系式为 y＝ (2)当x＝20×6