第三章 4.3 第二课时 空间中的距离问题-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

第二课时　空间中的距离问题 探究点一　点到直线的距离 [基础梳理] 点到直线的距离 若点P是直线l外一定点，e0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意一定点，则点P到直线l的距离为d＝. [互动探究] [例1]　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离． 【解】　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图． 设DA＝2， 则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)， ＝(1，－2，1)，＝(1，0，－2)． ∴||＝＝， ·＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1， ∴在上的投影向量的模为＝. ∴点A到直线EF的距离 d＝ ＝＝. 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求直线的方向向量． (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影． (4)利用勾股定理求点到直线的距离． 另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． [跟踪训练] 1．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E是CC1的中点，则E到A1B的距离为(　　) A．　　　　　　 B．2 C．2 D．3 解析：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，连接A1E，BE，作EH⊥A1B于H，则A1(4，0，4)，B(4，4，0)，E(0，4，2)， ∴＝(－4，4，－2)，＝(0，4，－4)， ∴||＝＝6，||＝＝4， ∴||＝＝3， ∴||＝＝＝3. 答案：D 探究点二　点到平面的距离 [基础梳理] 点到平面的距离 点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量，在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度，即d＝|·n0|． [互动探究] [例2]　已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离． 【解】　建立如图所示的空间直角坐标系，则G(0，0，2)，E(4，－2，0)，F(2，－4，0)，B(4，0，0)，＝(4，－2，－2)，＝(2，－4，－2)，＝(0，－2，0)． 设平面EFG的一个法向量为n＝(x，y，z)． 由 得 ∴x＝－y，z＝－3y. 取y＝1，则n＝(－1，1，－3)． ∴点B到平面EFG的距离d＝ ＝＝. 用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求出该平面的一个法向量． (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量． (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离． [跟踪训练] 2．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝2. (1)求证：A1C∥平面AB1D； (2)求点C1到平面AB1D的距离． 解：(1)证明：如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA所在直线为x轴，y轴，过点D且与AA1平行的直线为z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，C(1，0，0)，B1(－1，0，2)，A1(0，，2)，A(0，，0)，C1(1，0，2)，＝(1，－，－2)，＝(－1，－，2)，＝(0，－，0)． 设平面AB1D的一个法向量为n＝(x，y，z)，则 即 令z＝1，则y＝0，x＝2.∴n＝(2，0，1)． ∵·n＝1×2＋(－)×0＋(－2)×1＝0， ∴⊥n. ∵A1C⊄平面AB1D， ∴A1C∥平面AB1D． (2)由(1)知平面AB1D的一个法向量n＝(2，0，1)，且＝(－1，，－2)，∴点C1到平面AB1D的距离d＝＝＝. 探究点三　线面距与面面距 [互动探究] [例3]　在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE的距离． 【解】　如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A1(1，0，2)，A(1，0，0)，E(0，，1)，C(0，，0)．过点C作AB的垂线交AB于点F，易得BF＝，∴B(1，2，0)， ∴＝(0，2，0)，＝(－1，－，1)． 设平面ABE的一个法向量n＝(x，y，z)， 则 ∴ ∴y＝0，x＝z，不妨取n＝(1，0，1)． ∵＝(0，0，2)， ∴A1B1到平面ABE的距离d＝＝＝. 1．求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可． 2．将两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可． [跟踪训练] 3．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1