第三章 2.2 第一课时 空间向量及其线性运算-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

§2　空间向量与向量运算 2．1　从平面向量到空间向量 2．2　空间向量的运算 第一课时　空间向量及其线性运算 [素养目标]　1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．　2.经历由平面向量的线性运算及其法则推广到空间向量的过程．　3.掌握空间向量的线性运算，学会类比的数学方法． 探究点一　空间向量的概念 [基础梳理] 空间向量的有关概念 (1)定义：在空间中，把既有大小又有方向的量，叫作空间向量． (2)长度：空间向量的大小叫作向量的长度或模． (3)表示法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示． ②字母表示法：用字母表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为||或|a|. (4)自由向量：与向量的起点无关的向量． (5)特殊向量 名称 定义及表示 零向量 规定模为0的向量叫作零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫作单位向量 相反向量 与向量a模相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a 共线向量 (平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．记作a∥b.我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a. 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 [互动探究] [例1]　(多选题)(2022·重庆南开中学高二月考)下列说法正确的有(　　) A．两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 B．若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b C．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有＝ D．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p 【解析】　选CD．对于A，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同，A错误； 对于B，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但B中向量a与b的方向不一定相同，B错误； 对于C，根据正方体的性质，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量与向量的方向相同，模也相等，则＝，C正确； 对于D，由向量相等关系可知m＝n＝p，D正确． 故选CD． 1．在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同． 2．由于向量是由其模和方向确定的，因此解答空间向量有关概念问题时，通常抓住这两点来解决． 3．零向量是一个特殊向量，其方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．　　 [跟踪训练] 1．下列命题中正确的个数是(　　) ①如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|； ②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同； ③若a，b，c为非零向量，且a∥b，b∥c，则a∥c； ④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内． A．1　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：对于①，由单位向量的定义即得|a|＝|b|＝1，故①正确；对于②，共线不一定同向，故②错误；对于③，正确；对于④，正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内． 答案：C 探究点二　空间向量的线性运算 [基础梳理] 1．空间向量的加法、减法以及数乘运算 把平面向量的线性运算推广到空间，定义： (1)加法：a＋b＝＋＝． (2)减法：a－b＝－＝．(三角形法则，平行四边形法则) (3)当λ>0时，λa＝λ＝(与a同向且|λa|＝|λ||a|)； 当λ<0时，λa＝λ＝(与a反向且|λa|＝|λ| |a|)； 当λ＝0时，λa＝0． 2．空间向量的线性运算满足的运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.其中λ∈R，μ∈R. 3．一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O为起点，a，b，c为邻边作平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量． [互动探究] [例2]　(1)如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则＋(－)＝(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． 【解析】　选C．因为－＝，(－)＝＝，所以＋(－)＝＋＝，故选C． (2)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： ①；②；③＋. 【解】　①＝＋ ＝(＋)＋ ＝a＋c＋b. ②＝＋ ＝－＋＋ ＝－a＋b＋c. ③＋＝(