第六章 1.3 全概率公式-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

1．3　全概率公式 [素养目标]　1.会利用全概率公式计算概率．　2.了解贝叶斯公式．　3.培养数学建模、数学运算、逻辑推理的素养． 探究点一　利用全概率公式求概率 [基础梳理] 全概率公式 设B1，B2，…，Bn是一组两两互斥的事件，B1∪B2∪…∪Bn＝Ω，且P(Bi)>0(i＝1，2，…，n)，则对任意一个事件A有P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)，称这一公式为全概率公式． [互动探究] [例1]　(1)设甲车间产品占60%，乙车间产品占40%，甲车间次品率为0.1，乙车间次品率为0.2，则任取一件产品为次品的概率为________． 【解析】　设事件A：取到的产品来自甲车间， 事件B：取到的产品来自乙车间， 事件C：取到的产品为次品． 由题意P(A)＝0.6，P(B)＝0.4， P(C|A)＝0.1，P(C|B)＝0.2， 由全概率公式P(C)＝P(A)·P(C|A)＋P(B)·P(C|B) ＝0.6×0.1＋0.4×0.2＝0.14. 【答案】　0.14 (2)甲口袋里面有4个红球3个白球，乙口袋有2个红球，5个白球，从甲口袋随机拿出一个球放到乙口袋，然后从乙口袋中随机拿一个球，求这个球是红球的概率． 【解】　①完备事件组命名A1＝“甲口袋里拿出的是红球”，A2＝“甲口袋里拿出的是白球”， ②目标事件B＝“从乙口袋取出红球”， ③全概率公式求解． P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝. 运用全概率公式计算事件B发生的概率P(B)时，一般步骤如下： (1)先求划分后的每个小事件的概率，即P(Ai)，i＝1，2，…，n； (2)再求每个小事件发生的条件下，事件B发生的概率，即P(B|Ai)，i＝1，2，…，n； (3)最后利用全概率公式计算P(B)，即P(B)＝P(Ai)·P(B|Ai)． [跟踪训练] 1．甲袋中有5只白球，7只红球；乙袋中有4只白球，2只红球，从两个袋子中任取一袋，然后从所取到的袋子中任取一球，求取到的球是白球的概率． 解：首先取袋子，设取到甲袋为事件A1，则P(A1)＝，取到乙袋为事件A2，则P(A2)＝，取到白球的概率为P(B)，P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝. 探究点二　利用贝叶斯公式求概率 [基础梳理] 贝叶斯公式 设B1，B2，…，Bn是一组两两互斥的事件，B1∪B2∪…∪Bn＝Ω，且P(A)>0，P(Bi)>0，(i＝1，2，…，n)，则P(Bi|A)＝，称这一公式为贝叶斯公式． [互动探究] [例2]　三部自动的机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占40%，机器乙生产的占25%，机器丙生产的占35%，已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有10%、5%和1%不合格，现从总产品中随机地抽取一个零件，发现是不合格品，求： (1)它是由机器甲生产出来的概率； (2)它是由哪一部机器生产出来的可能性大． 【解】　设B1，B2，B3分别表示事件：任取的零件为甲、乙、丙机器生产的，A：抽取的零件是不合格品，由条件知， P(B1)＝0.40，P(B2)＝0.25，P(B3)＝0.35， P(A|B1)＝0.10，P(A|B2)＝0.05，P(A|B3)＝0.01， (1)所求概率为P(B1|A)，P(B1|A)＝≈0.714. (2)类似(1)的计算可得P(B2|A)≈0.223，P(B3|A)≈0.063，比较可知是机器甲生产出来的可能性大． 贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知条件如下： (1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P(Ai)已知； (2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P(B|Ai)已知； (3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到； (4)求解的目标是用A的某种情况Ai的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(Ai|B)．　　 [跟踪训练] 2．某学生接连参加同一课程的考试两次，两次相互独立，第一次及格的概率是P，如果第一次及格，那么第二次及格的概率也是P，如果第一次不及格，那么第二次及格的概率就是，如果他第二次考试及格了，求第一次考试及格的概率． 解：设事件A1表示“第一次考试及格”，事件A2表示“第一次考试不及格”，事件B表示“第二次考试及格”，则P(A1)＝p，P(A2)＝1－p，P(B|A1)＝p，P(B|A2)＝， P(A1|B)＝ ＝＝. 1．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1，2车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的