第六章 1.1 条件概率的概念-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

§1　随机事件的条件概率

1．1　条件概率的概念

[素养目标]　1.通过对具体情景的分析，了解条件概率的概念．　2.掌握求条件概率的两种方法．　3.利用条件概率公式解决一些简单的问题．　4.培养逻辑推理、数学运算的学科素养．

探究点一　条件概率的计算

[基础梳理]

1．条件概率

(1)定义：一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，则称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率，简称条件概率．

(2)特例：当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)＝P(B)．

2．条件概率公式

(1)P(B|A)＝，(其中n(A)，n(AB)分别表示事件A，事件AB包含的样本点个数)．

(2)P(B|A)＝，P(AB)表示事件A与B积事件的概率．

[互动探究]

[例1]　现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：

(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；

(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；

(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．

【解】　设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第一次和第二次都抽到舞蹈节目的事件AB．

(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个事件数为n(Ω)＝A＝30.

根据分步乘法计数原理n(A)＝AA＝20，得P(A)＝＝＝.

(2)因为n(AB)＝A＝12，所以P(AB)＝＝＝.

(3)法一　由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为

P(B|A)＝＝＝.

法二　因为n(AB)＝12，n(A)＝20，

所以P(B|A)＝＝＝.

1．利用定义计算条件概率的步骤

(1)分别计算概率P(AB)和P(A)．

(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生．

2．利用缩小基本事件范围计算条件概率的方法

将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A，原来的事件B缩小为AB．而A中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P(B|A)＝，这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的基本事件范围的．

[跟踪训练]

1．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量

为优良的概率是(　　)

A．0.8　　　　　　　　 B．0.75

C．0.6   D．0.45

解析：设某天的空气质量为优良是事件B，随后一天的空气质量为优良是事件A，故所求概率为P(A|B)＝＝＝0.8.

答案：A

探究点二　条件概率性质的应用

[基础梳理]

条件概率的性质

(1)0≤P(B|A)≤1，P(Ω|A)＝1；

(2)如果B和C是两个互斥事件，则P[(B∪C)|A]＝P(B|A)＋P(C|A)；

(3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)．

[互动探究]

[例2]　在某次考试中，从20道题中随机抽取6道题，若考生至少能答对其中的4道即可通过；若至少能答对其中5道就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过 ，求他获得优秀成绩的概率．

【解】　设事件A为“该考生6道题全答对”，

事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，

事件C为“该考生答对了其中4道题，另两道答错”，

事件D为“该考生在这次考试中通过”，

事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，

则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，

由古典概型的概率公式及加法公式可知

P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)

＋＋＝.

∵P(AD)＝P(A∩D)＝P(A)，

P(BD)＝P(B∩D)＝P(B)，