第二章 4.1 直线与圆锥曲线的交点-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

§4　直线与圆锥曲线的位置关系 4．1　直线与圆锥曲线的交点 [素养目标]　1.类比直线与圆的位置关系，会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系．　2.会求直线与椭圆、双曲线、抛物线的交点坐标．　3.培养直观现象、数学运算的学科素养． 探究点一　点、直线与椭圆位置关系的判断 [基础梳理] 直线与椭圆的位置关系(直线斜率存在时) 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系判断方法：联立消y得一个关于x的一元二次方程． 位置 关系 公共点 个数 组成的方 程组的解 判定方法 (利用判别式Δ) 相交 2个 2解 Δ＞0 相切 1个 1解 Δ＝0 相离 0个 0解 Δ＜0 斜率不存在时，观察可得． [互动探究] [例1]　直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　　　　　　 B．相切 C．相离 D．不确定 【解析】　选A．直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1，1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交． [例2]　在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围． 【解】　由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1.整理得x2＋2·kx＋1＝0.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4(＋k2)＝4k2－2>0，解得k<－或k>. 即k的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞)． 位置关系问题．解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具．　　 [跟踪训练] 1．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C． (1)有两个不同的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点． 解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立， 得方程组 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③ 方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)当Δ＞0，即－3 ＜m＜3 时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点． (2)当Δ＝0，即m＝±3 时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点． (3)当Δ＜0，即m＜－3 或m＞3 时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点． 探究点二　直线与抛物线的交点问题 [基础梳理] 1．判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数． 2．直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：(1)直线与抛物线的对称轴重合或平行；(2)直线与抛物线相切． [互动探究] [例3]　若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合． 【解】　因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组只有一组实数解，消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，即(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0　①. (ⅰ)当a＋1＝0，即a＝－1时，方程①是关于x的一元一次方程，解得x＝－1，这时，原方程组有唯一解 (ⅱ)当a＋1≠0，即a≠－1时，方程①是关于x的一元二次方程．令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－. 所以原方程组有唯一解 综上，实数a的取值集合是. 直线与抛物线的位置关系的判断方法 设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0. (1)若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． (2)若k2≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无交点．　　 [跟踪训练] 2．求过点P(－1，1)，且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线l的方程． 解：(1)当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意． (2)当直线l的斜率存在时， ①若直线l与抛物线的对称轴平行，则直线l的方程为y＝1，此时直线l与抛物线只有一个公共点； ②若直线l与抛物线的对称轴不平行，设直线l的方程为y－1＝k(x＋1)(k≠0)，