第二章 3.1 抛物线及其标准方程-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

§3　抛物线 3．1　抛物线及其标准方程 [素养目标]　1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程．　2.会求抛物线的标准方程．　3.培养学生数形结合、数学运算的学科素养． 探究点一　抛物线的定义及其应用 [基础梳理] 抛物线的定义 (1)文字语言：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． (2)集合语言：P＝{M||MF|＝d}． [互动探究] 角度1　利用抛物线定义求轨迹(方程) [例1]　过点F(0，3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为(　　) A．y2＝12x　　　　　 B．y2＝－12x C．x2＝－12y D．x2＝12y 【解析】　选D．由题意得动圆的圆心到直线y＝－3的距离和到点F(0，3)的距离相等，动圆的圆心是以点F(0，3)为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，其方程为x2＝12y.故选D． 角度2　利用抛物线定义求最值 [例2]　设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． 【解析】　如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1， 则|P1Q|＝|P1F|. 则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4. 即|PB|＋|PF|的最小值为4. 【答案】　4 抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等． [跟踪训练] 1．(1)若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x 解析：设动圆的半径为r，圆心O′(x，y)到点(2，0)的距离为r＋1，O′到直线x＝－1的距离为r，所以O′到(2，0)的距离与到直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义知y2＝8x.故选A． 答案：A (2)若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是(　　) A．2　　 B．　　 C．　　 D．3 解析：由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离，∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2. 答案：A 探究点二　抛物线的标准方程 [基础梳理] 由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0)．其图形，焦点，准线如下表． 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ [互动探究] 角度1　抛物线的焦点坐标及准线方程的求解 [例3]　指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程并说明抛物线开口方向． (1)y＝x2；(2)x＝ay2(a≠0)． 【解】　(1)抛物线y＝x2的标准形式为x2＝4y， ∴p＝2，∴焦点坐标是(0，1)，准线方程是y＝－1.抛物线开口向上． (2)抛物线方程的标准形式为y2＝x，∴2p＝. ①当a＞0时，＝，抛物线开口向右， ∴焦点坐标是，准线方程是x＝－； ②当a＜0时，＝－，抛物线开口向左， ∴焦点坐标是，准线方程是x＝－. 综合上述，当a≠0时，抛物线x＝ay2的焦点坐标为，准线方程为x＝－.a＞0时，开口向右；a＜0时，开口向左． 角度2　求抛物线的标准方程 [例4]　分别求适合下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为y＝； (2)过点(－3，2)； (3)焦点在直线x－2y－4＝0上； (4)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5. 【解】　(1)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，则p＝，所以所求抛物线的标准方程为x2＝－y. (2)由题知(－3，2)在第二象限，设抛物线方程为 y2＝－2px或x2＝2py(p＞0)， 将点(－3，2)代入方程得2p＝或2p＝， 故抛物线方程为y2＝－x或x2＝y. (3)①令x＝0，由方程x－2y－4＝0得y＝－2， ∴抛物线的焦点坐标为(0，－2)． 设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，则由＝2，得2p＝8，∴所求抛物线的方程为x2＝－8y. ②令y＝0，由x－2y－4＝0得x