第二章 1.2 椭圆的简单几何性质-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

1．2　椭圆的简单几何性质 [素养目标]　1.经历从椭圆的标准方程研究椭圆几何性的过程并掌握它的几何性质．　2.会根据几何条件求出曲线方程,并会研究其性质，画出图形．　3.培养学生直观想象、数学运算的学科素养． 探究点一　椭圆的几何性质 [基础梳理] 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 范围 －a≤x≤a且 －b≤y≤b －b≤x≤b且 －a≤y≤a 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 长轴长|A1A2|＝2a，短轴长|B1B2|＝2b 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c [互动探究] [例1]　求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率，焦点和顶点坐标． 【解】　已知方程化成标准方程为＋＝1， 于是a＝4，b＝3，c＝＝， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6， 离心率e＝＝，又知焦点在x轴上，∴两个焦点坐标分别是(－，0)和(，0)，四个顶点坐标分别是(－4，0)，(4，0)，(0，－3)和(0，3)． 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量．　　 [跟踪训练] 1．求椭圆m2x2＋4m2y2＝1(m＞0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解：椭圆方程m2x2＋4m2y2＝1(m＞0)可转化为＋＝1. ∵m2＜4m2，∴＞， ∴椭圆的焦点在x轴上，且长半轴长a＝，短半轴长b＝，半焦距长c＝. ∴椭圆的长轴长2a＝，短轴长2b＝，焦点坐标为(－，0)，(，0)， 顶点坐标为，，(0，－)，. 离心率e＝＝＝. 探究点二　求椭圆的离心率 [基础梳理] 离心率 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率． (2)性质：① ②形象记忆：0＜e＜1，e越趋向于1，越扁；e越趋向于0，越圆． [互动探究] [例2]　(1)已知两定点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为(　　) A．　　　　　　　　　 B． C． D． 【解析】　选A．不妨设椭圆方程为＋＝1(a>1)， 与直线l的方程联立 消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0， 由题意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，解得a≥， 所以e＝＝≤， 所以e的最大值为. (2)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为|F1F2|，求椭圆C的离心率． 【解】　由题意知A(a，0)，B(0，b)，从而直线AB的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0， 又|F1F2|＝2c， ∴＝c，∵b2＝a2－c2， ∴3a4－7a2c2＋2c4＝0， 解得a2＝2c2或3a2＝c2(舍去)，∴e＝. 求椭圆离心率的方法 (1)直接求出a和c，再求e＝，也可利用e＝求解． (2)若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e的方程，进而求解．　　 [跟踪训练] 2．F是椭圆的一个焦点，B1B是短轴，∠B1FB＝60°，求椭圆的离心率． 解：在△B1FB中，因为∠B1FB＝60°，B1F＝BF＝a，所以△B1FB是等边三角形，又因为B1B＝2b，故a＝2b＝2，即3a2＝4c2，所以＝.因此椭圆的离心率为. 探究点三　椭圆几何性质的应用 [互动探究] 角度1　求椭圆的标准方程 [例3]　求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)已知椭圆的中心在原点， 焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8； (2)已知椭圆的离心率为e＝，短轴长为8. 【解】　(1)由题意知，2c＝8，c＝4， ∴e＝＝＝，∴a＝8， 从而b2＝a2－c2＝48， ∴椭圆的标准方程是＋＝1. (2)由e＝＝得c＝a， 又2b＝8，a2＝b2＋c2，所以a2＝144，b2＝80， 所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b，这就是我们常用的待定系数法．　　 角度2　最值问题 [例4]　椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P到椭圆上