第一章 1.2 数列的函数特性-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

1．2　数列的函数特性 [素养目标]　1.了解递增数列、递减数列、常数列的概念．　2.理解数列的图象表示．　3.会判断数列的增减性并能简单应用．　4.培养数学抽象、直观想象、逻辑推理的学科素养． 探究点一　数列的表示法及其应用 [基础梳理] 1．数列与函数的关系 数列可以看作是定义域为正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列． 2．数列的三种表示法 (1)列表法．(2)图象法．(3)通项公式法． 思考： 　(1)数列与函数值域有什么区别？ 提示：数列是一种特殊的函数，并且数列有序，函数值域是集合，具有无序性． (2)数列an＝f(n)与函数y＝f(x)有什么关系？ 提示：当x∈N＋或N＋的有限子集时，y＝f(x)就是数列的通项公式，否则，y＝f(x)与an＝f(n)完全不同． y＝f(x)的图象是线，而an＝f(n)的图象只是y＝f(x)上的点(1，f(1))，(2，f(2))，…，(n，f(n))，…. [互动探究] [典例1]　若数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋13n(n∈N＋)，画出它在x轴上方的图象，并根据图象求出an的最大值，并在同一坐标系中画出函数f(x)＝－2x2＋13x的图象．根据图象求出f(x)的最大值，并与an的最大值比较，若用函数来求an＝－2n2＋13n的最大值，应如何处理？ 解：由－2n2＋13n>0.可得0<n<. 又因为n∈N＋， 所以n＝1，2，3，4，5，6，分别代入通项公式an， 可得a1＝11，a2＝18，a3＝21，a4＝20，a5＝15，a6＝6. 图象是如图所示中的点． 根据图象得a3最大，且a3＝21. 因为f(x)＝－2x2＋13x ＝－2(x－)2＋. 所以当x＝时，f(x)max＝. f(x)的图象是如图所示的抛物线，显然>21. 因为3<<4，且3离3较近． 所以当n＝3时，an达到最大值a3＝－2×32＋13×3＝21. 画数列的图象的方法 数列是一个特殊的函数，因此也可以用图象来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图象．因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})，所以其图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的． [变式训练] 1．根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来． (1)an＝(－1)n＋2； (2)an＝. 解：(1)a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1. 图象如图1. (2)a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，图象如图2. 2．在数列{an}中，an＝n2－8n， (1)画出{an}的图象； (2)根据图象判定数列{an}的最值． 解：(1)列表: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … an －7 －12 －15 －16 －15 －12 －7 0 9 … 描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图象； (1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8，0)，(9，9)，… 图象如图所示． (2)由数列{an}的图象可以看出当n＝4时，an有最小值，a4＝－16，无最大值． 探究点二　数列的增减性 [基础梳理] 1．递增数列：一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an＋1>an(n∈N＋)，那么这个数列叫作递增数列． 2．递减数列：一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即an＋1<an(n∈N＋)，那么这个数列叫作递减数列． 3．常数列：如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫作常数列． 4．摆动数列：一个数列{an}，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫作摆动数列． 思考： 根据增减性，数列有哪些分类？ 提示：递增数列，递减数列，常数列，摆动数列． [互动探究] 角度1　数列增减性的判断 [典例2]　已知下列数列： ①2018，2019，2020，2021，2022，2023； ②1，，，…，，…； ③1，－，，…，，…； ④1，0，－1，…，sin，…； ⑤2，4，8，16，32，…； ⑥－1，－1，－1，－1. 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(填序号) 解析：①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，