第一章 1.1 数列的概念-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

§1　数列的概念及其函数特性 1．1　数列的概念 [素养目标]　1.了解数列及通项公式的概念，能根据通项公式确定数列中的项．　2.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．　3.培养数学抽象、逻辑推理、数学建模的学科素养. 探究点一　数列的有关概念 [基础梳理] 1．数列的概念 (1)数列：按一定次序排列的一列数叫作数列． (2)数列的项：数列中的每一个数叫作这个数列的项． (3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为：{an}．数列的第1项a1也称首项，an是数列的第n项，也叫数列的通项． 思考： (1)如果组成两个数列的数相同但排列次序不同，那么它们是相同的数列吗? 提示：从数列的定义可以看出，组成数列的数是按一定顺序排列的，如果组成数列的数相同但次序不同，那么它们就不是同一数列． (2)同一个数在数列中可以重复出现吗？ 提示：在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此同一个数在数列中可以重复出现． (3)数列{an}与an相同吗？ 提示：数列{an}与an是不同的．{an}表示数列：a1，a2，a3，…，an，…，而an表示数列{an}中的第n项． 2．数列的分类 类别 含义 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 思考： 1，2，3，4与1，2，3，4，…是否是相同的数列？ 提示：不是相同的数列.1，2，3，4是有穷数列，1，2，3，4，…是无穷数列． [互动探究] [典例1]　下列说法正确的是(　　) A．数列1，2，3，4，5，6与数列1，2，5，6，3，4是同一个数列 B．数列1，2，3，4，5，6可以表示为{1，2，3，4，5，6} C．0，2，4，6，8，…，2n是无穷数列 D．同一个数在一个数列中可以重复出现 解析：两个数列只有元素相同，排列顺序也相同时，才是同一个数列，故A不正确；数列与集合不同，数列不能表示成集合的形式，故B不正确；当n确定后，数列0，2，4，6，8，…，2n的项数就确定了，所以该数列是有穷数列，故C错误；根据数列定义知D正确． 答案：D [典例2]　数列2，5，11，20，x，47…中的x等于(　　) A．28　　 B．32　　　 C．33　　 D．37 解析：由前几项为2，5，11，20，x，47可以发现5－2＝3×1，11－5＝3×2，20－11＝3×3，可得x－20＝3×4，解得x＝32. 答案：B 数列概念的三个注意点 (1)数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一个集合，与集合表示有本质的区别． (2)从数列的定义可以看出，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；在定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现． (3)数列中各项的次序揭示了数列的规律性，是理解、把握数列的关键． [变式训练] 1．下列说法正确的是(　　) A．数列3，5，7与数列7，5，3是相同数列 B．数列2，3，4，4可以记为{2，3，4} C．数列1，，，…，，…可以记为 D．数列{2n＋1}的第5项是10 解析：选C.数列是有序的，选项A错误；数列与数集是两个不同的概念，选项B错误；对于D，当n＝5时，2×5＋1＝11，选项D错误，故C正确． 2．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于(　　) A．11　　　　　　　 B．12 C．13 D．14 解析：选C.由前6项可知：从第3项起，每一项都是它前面两项的和，所以x＝5＋8＝13. 探究点二　由数列的前几项确定数列的通项公式 [基础梳理] 数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子叫作数列{an}的通项公式． [互动探究] [典例3]　数列3，6，11，20，…的一个通项公式为(　　) A．an＝3n　　　　　　 B．an＝n(n＋2) C．an＝n＋2n D．an＝2n＋1 解析：依题意，a1＝3＝1＋21；a2＝6＝2＋22；a3＝11＝3＋23；a4＝20＝4＋24；…，所以an＝n＋2n. 答案：C [典例4]　写出下列各数列的一个通项公式： (1)4，6，8，10，…； (2)，，，，，…； (3)－1，，－，，…； (4)5，55，555，5555，…. 解：(1)易知该数列是首项从4开始的偶数，所以该数列的一个通项公式为an＝2n＋2，n∈N＋. (2)易知该数列中每一项分子比分母少1，且分母可写成21，22，23，24，25，…，故所求数列的通项公式可写为an＝，n∈N＋. (3)通过观察可知，该数列中的奇数项为负，偶数项为正，故选择(－1)n.又第1项可改写成分数－，所以每一项的分母依次为3，5，7，