第二章 7.2 实际问题中的最值问题-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

7．2　实际问题中的最值问题 [素养目标]　1.会用导数解决生活实际中的优化问题．　2.培养数学建模、数学运算的学科素养． 探究点一　实际生活中的最值问题 [基础梳理] 在实际问题中，经常会遇到解决一些如面积最小、体积最大、成本最低、时间最少、利润最大、用料最省等问题，这些问题通称为最优化问题．用导数解决最优化问题的基本思路为： [互动探究] [典例1]　为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系： C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． 解：(1)由题设可知，隔热层厚度为x cm，每年能源消耗费用为C(x)＝，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.而建造费用为C1(x)＝6x. 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x ＝＋6x(0≤x≤10)． (2)f′(x)＝6－， 令f′(x)＝0，即＝6， 解得x＝5，x＝－(舍去)．当0≤x＜5时，f′(x)＜0，当5＜x≤10时，f′(x)＞0.故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.当隔热层修建5 cm时，总费用f(x)达到最小值，且最小值为70万元． 解决优化问题时应注意的问题 (1)列函数解析式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域． (2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数在给定区间内只有一个极值点，则根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较． [变式训练] 1．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房，经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝) 解：设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元， 则f(x)＝(560＋48x)＋ ＝560＋48x＋(x≥10，x∈N＋)． f′(x)＝48－， 令f′(x)＝0得x＝15， 当x＞15时，f′(x)＞0； 当10≤x＜15时，f′(x)＜0， 因此当x＝15时，f(x)取最小值，f(15)＝2000. 故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层． 2．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝ (1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？ (注：年利润＝年销售收入—年总成本) 解：(1)当0＜x≤10时， W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－－10. 当x＞10时， W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x. 所以W＝ (2)①当0＜x≤10时， 由W′＝8.1－＝0，解得x＝9， 且当x∈(0，9)时，W′＞0； 当x∈(9，10]时，W′＜0， 所以当x＝9时，W取最大值， 且Wmax＝8.1×9－－10＝38.6. ②当x＞10时， W＝98－≤98－2＝38， 当且仅当＝2.7x， 即x＝时，Wmax＝38. 综合①②知当x＝9时，W取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大． 探究点二　平面几何中的最值问题 [互动探究] [典例2]　如图所示，半径为2的⊙M切直线AB于O，射线OC从OA出发绕着O点顺时针旋转到OB，旋转过程中，OC交⊙M于P，记∠PMO为x，弓形PnO的面积为S＝f(x)，那么f(x)的图象是下图中的(　　) 解析：选A.由所给的图示可得，当x≤π时，弓形PnO的面积为S＝f(x)＝S扇形PnO－S△MPO＝2x－2sin x，其导数为f′(x)＝2－2cos x，由余弦函数的性质知，此值越来越大，即f(x)的图象上升得越来越快，由此可以排除B，C；再由所给图示的对称性知，弓形PnO的面积先是增加得越来越快，然后是增加得越来越慢，直到增加率为0，由此可以排除D. [典例3]　某工厂要围建一个面积为128 m2的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其他三边要砌新的墙壁