第二章 7.1 实际问题中导数的意义-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

§7　导数的应用 7．1　实际问题中导数的意义 [素养目标]　1.了解导数在实际问题中的意义．　2.能够利用实际问题进一步巩固和加强对导数概念的理解．　3.培养数学建模、数学运算的学科素养． 探究点一　导数在物理学中的应用 [基础梳理] 　在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为功率，它的单位是瓦特． [互动探究] [典例1]　某质点的运动方程为s＝s(t)＝2t2＋3t，其中s是位移(单位：m)，t是时间(单位：s)． (1)求当t从1 s变到3 s时，位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求s′(1)，s′(2)，并解释它们的实际意义． 解：(1)当t从1 s变到3 s时，s关于t的平均变化率为＝＝＝11(m/s)． 它表示从t＝1 s到t＝3 s这段时间内，该质点平均每秒的位移是11 m. (2)由导数公式表和导数的运算法则可得 s′(t)＝4t＋3，则s′(1)＝4＋3＝7(m/s)， s′(2)＝4×2＋3＝11(m/s)． s′(1)表示的是该质点在t＝1 s时的瞬时速度，也就是该质点在t＝1 s这个时刻的瞬时速度为7 m/s. s′(2)表示的是该质点在t＝2 s时的瞬时速度，也就是该质点在t＝2 s这个时刻的瞬时速度为11 m/s. 三个角度理解导数在物理学中的意义 (1)正确理解导数的定义，按照导数的定义去思考实际问题． (2)看函数值的改变量Δy及自变量的改变量Δx的实际意义． (3)看Δx趋于0时，趋于一个固定值的实际意义． [变式训练] 1．已知某物体的运动方程是s＝则该物体在t＝1时的瞬时速度为________；在t＝4时的瞬时速度为________ . 解析：当0≤t＜3时s′＝6 t， 所以当t＝1时的瞬时速度为s′(1)＝6， 当t≥3时s′＝6t－18， 所以当t＝4时的瞬时速度为s′(4)＝6. 答案：6　6 2．某河流在一段时间x min内流过的水量为y m3，y是x的函数，且y＝f(x)＝. (1)当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？ (2)求f′(27)，并解释它的实际意义． 解：(1)当x从1变到8时，y关于x的平均变化率为 ＝＝(m3/min)． (2)f′(x)＝x， 于是f′(27)＝×27＝(m3/min)， 实际意义为当时间为27 min时， 水流量增加的速度为 m3/min， 也就是当时间为27 min时，每增加1 min，水流量增加 m3. 探究点二　导数在经济生活中的应用 [基础梳理] 在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)的导函数称为边际成本，边际成本f′(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需要增加f′(x0)个单位的成本． [互动探究] [典例2]　 已知某厂生产某种产品的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数关系为C(x)＝x2＋60x＋2050. (1)求当日产量由10件提高到20件时，总成本的平均改变量，并说明其实际意义； (2)求当日产量为75件时的边际成本，并说明其实际意义． 解：(1)当x从10件提高到20件时，总成本C从C(10)＝2675元变到C(20)＝3350元． 此时总成本的平均改变量为 ＝67.5(元/件)， 其表示日产量从10件提高到20件时平均每件产品的总成本的改变量． (2)因为C′(x)＝x＋60，所以C′(75)＝×75＋60＝97.5(元/件)，它指的是当日产量为75件时，每多生产一件产品，需增加成本97.5元． 解决实际问题的一般步骤 (1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系． (2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解． (4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定其答案．　　 [变式训练] 3．典例的条件“C(x)＝x2＋60x＋2050”变为“C(x)＝x2＋ax＋2050，当日产量为75件时的边际成本大于97.5元/件”，求a的取值范围． 解：因为C′(x)＝x＋a，所以日产量为75件时的边际成本大于97.5元/件，即C′(75)＝×75＋a＞97.5，解得a＞60. 4．某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示.谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO′为铅垂线(O′在AB上)，经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO′的距离a(米)之间满足关系式h1＝a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO′的距离b(米)之间满足关系式h2＝－b3＋6b.已知点B到OO′的距离为40