第二章 6.3 函数的最值-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

6．3　函数的最值 [素养目标]　1.理解函数最值的概念，了解函数极值与最值的区别与联系．　2.会求某区间上的函数的最值．　3.培养数学运算、直观想象、逻辑推理的学科素养． 探究点一　求函数的最值 [基础梳理] 1．函数的最值 (1)取得最值的条件：在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线． (2)结论：函数y＝f(x)必有最大值和最小值，函数的最值在极值点或区间端点取得． (3)最值：函数的最大值和最小值统称为最值． 思考： 　(1)在闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)有极值一定有最值，反之成立吗？ 提示：反之不成立，在闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)有极值一定有最值，但有最值不一定有极值． (2)函数的极值与最值有什么区别？ 提示：①函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最值是函数在给定区间的整体概念．②函数极值只能在区间内部取得，函数最值可能在区间端点取得． (3)函数的最值一定在区间端点处取得吗？ 提示：不一定，当函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上是单调函数时，函数最值在区间端点取得，否则，函数最值不一定在区间端点取得． 2．求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上最值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值． (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． [互动探究] [典例1]　求下列各函数的最值： (1)f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5，x∈[－2，＋∞)； (2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0，2π]． 解：(1)f′(x)＝12x2＋6x－36， 令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x －2 f′(x) 0 － 0 ＋ f(x) 57  －  由于当x＞时，f′(x)＞0， 所以f(x)在上为增函数． 因此，函数f(x)在[－2，＋∞)上只有最小值－，无最大值． (2)f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0，又x∈[0，2π]，解得x＝或x＝. 计算得f(0)＝0，f(2π)＝π，f＝＋， f＝－. 所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0； 当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π. 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点： (1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内； (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值； (3)比较极值与端点函数值大小，确定最值． [变式训练] 1．当x∈[－1，1]时，函数f(x)＝的最大值是________． 解析：由f(x)＝可得，f′(x)＝，因为－1≤x≤1，所以2－x＞0，当－1≤x＜0时，f′(x)＝＜0，函数单调递减，当0＜x≤1时，f′(x)＝＞0，函数单调递增，又f(1)＝，f(－1)＝e，故当x＝－1时，函数取得最大值e. 答案：e 2．求函数f(x)＝x3－12x＋6，x∈[－3，3]的单调区间，并求函数f(x)的最值． 解：依题意得f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)， 令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2，列表如下： x －3 (－3，－2) －2 (－2，2) 2 (2，3) 3 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 15  22  －10  －3 所以函数f(x)在(－3，－2)和(2，3)上是增函数，在(－2，2)上是减函数，且函数f(x)的最大值是22，最小值是－10. 探究点二　含参数的函数的最值问题 [互动探究] 角度1　求含参数的函数的最值 [典例2]　已知函数f(x)＝(x－k)ex. (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值． 解：(1)由f(x)＝(x－k)ex， 得f′(x)＝(x－k＋1)ex， 令f′(x)＝0，得x＝k－1. 当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表： x (－∞，k－1) k－1 (k－1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x)  －ek－1  所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)． (2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0，1]上单调递增， 所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k. 当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时， 由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1，1]上单调递增， 所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1. 当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0，1]上单调递