第二章 6.1 函数的单调性-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

§6　用导数研究函数的性质 6．1　函数的单调性 [素养目标]　1.通过具体函数，了解导数与函数单调性的关系．　2.掌握利用导数判断函数单调性的方法和求单调区间．　3.培养数学运算、逻辑推理的学科素养． 探究点一　导数与单调性的关系 [基础梳理] 1．一般地，函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下的关系： 在某个区间(a，b)上，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增； 在某个区间(a，b)上，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减． 2．一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，这时函数的图象就比较“平缓”． 思考： (1)“若函数y＝f(x)在区间(a，b)上恒有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上单调递增”，反之，若f(x)在(a，b)上单调递增，能推出在(a，b)上恒有f′(x)>0吗？ 提示：不能，若f(x)在(a，b)上单调递增，则在(a，b)上恒有f′(x)≥0. (2)“若函数y＝f(x)在区间(a，b)上恒有f′(x)<0，则f(x)在(a，b)上单调递减”，反之，若f(x)在(a，b)上单调递减，能推出在(a，b)上恒有f′(x)<0吗？ 提示：不能，若f(x)在(a，b)上单调递减，则在(a，b)上恒有f′(x)≤0. (3)在(a，b)上存在f′(x)恒等于0的函数吗？ 提示：存在，这样的函数是常数函数f(x)＝c. (4)如果函数在某个区间上递增，那么其导数一定为正吗？ 提示：不一定．可能在某个点处导数为0. (5)能使f′(x)>0的区间都是f(x)的单调增区间吗？ 提示：不一定．必须在定义域内． [互动探究] 角度1　原函数与导函数图象之间的关系 [典例1]　已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　) 解析：选B.在区间(－1，1)上，f′(x)>0，因此函数y＝f(x)在区间(－1，1)上为增函数，易知四个选项都符合．在区间(－1，0)上，f′(x)单调递增，故y＝f(x)在区间(－1，0)上增加得越来越快，函数图象应为指数增长的模式；在区间(0，1)上，f′(x)单调递减，故y＝f(x)在区间(0，1)上增加得越来越慢，函数图象应为对数增长的模式． [典例2]　函数f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　) 解析：选D.从函数y＝f(x)的图象可以看出，其在区间(－∞，0)上是减函数，f′(x)<0；在区间(0，x1)上是增函数，f′(x)>0；在区间(x1，x2)上是减函数，f′(x)<0；在区间(x2，＋∞)上是增函数，f′(x)>0.结合选项可知，只有D项满足． 函数与导数图象间的关系 判断函数与导数图象间的对应关系时，首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象，其次再注意以下两个方面： (1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性． (2)导数与函数图象的关系. 函数值增加得越来越快 函数值增加得越来越慢 f′(x)>0且越来越大 f′(x)>0且越来越小 函数值减少得越来越快 函数值减少得越来越慢 f′(x)<0且越来越小，绝对值越来越大 f′(x)<0且越来越大，绝对值越来越小 角度2　利用导数判断(或证明)函数的单调性 [典例3]　求证：函数f(x)＝在区间上单调递减． 证明：∵f(x)＝， ∴f′(x)＝， ∵x∈，∴cos x<0，sin x>0， ∴xcos x－sin x<0， ∴f′(x)<0， ∴f(x)在上单调递减． 一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数y＝f(x)的单调性： 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．　　 [变式训练] 1．函数y＝f(x)在定义域内可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)<0的解集为________． 解析：函数y＝f(x)在区间和区间(2，3)上单调递减，所以在区间和区间(2，3)上，y＝f′(x)<0，所以f′(x)<0的解集为∪(2，3)． 答案：∪(2，3) 2．求证：函数f(x)＝在区间(0，2)上是单