第二章 4.2 导数的乘法与除法法则-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

4．2　导数的乘法与除法法则 [素养目标]　1.理解导数的乘法与除法法则．　2.会解简单的导数公式和导数四则运算相结合的问题．　3.培养数学运算的学科素养． 探究点一　应用法则求导数 [基础梳理] 导数的乘法与除法法则 乘法 除法 [f(x)g(x)]′ ＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ′＝ (g(x)≠0) 特别地，当g(x)＝k时， 有[kf(x)]′＝kf′(x) 思考： (1)[f(x)·g(x)]′与f′(x)·g′(x)相等吗？ 提示：[f(x)·g(x)]′≠f′(x)·g′(x)． (2)′与相等吗？ 提示：′≠. (3)按照′法则可求′(f(x)≠0)吗？ 提示：′＝. [互动探究] [典例1]　求下列函数的导数: (1)y＝x4－2x2－3x＋3； (2)y＝； (3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (4)y＝xtan x. 解：(1)y′＝(x4－2x2－3x＋3)′＝4x3－4x－3. (2)y′＝′ ＝ ＝. (3)法一：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ ＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋[(x＋1)(x＋2)](x＋3)′＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)·(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11. 法二：∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6. ∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11. (4)y′＝(xtan x)′＝x′tan x＋x(tan x)′＝tan x＋. 应用导数四则运算法则求函数的导数的技巧 (1)求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，又可少出错． (2)利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导． (3)在函数中有两个以上的因式相乘时，要注意多次使用积的求导法则，能展开的先展开成多项式，再求导． [变式训练] 1．函数y＝x2cos x的导数为(　　) A．y′＝2xcos x－x2sin x B．y′＝2xcos x＋x2sin x C．y′＝x2cos x－2xsin x D．y′＝xcos x－x2sin x 解析：选A.对函数y＝x2cos x求导，得y′＝2xcos x＋x2·(－sin x)＝2xcos x－x2sin x．故选A. 2．求下列函数的导数： (1)y＝－ln x. (2)y＝(x2＋1)(x－1)． (3)y＝. 解：(1)y′＝(－ln x)′＝()′－(ln x)′ ＝－. (2)y′＝[(x2＋1)(x－1)]′ ＝(x3－x2＋x－1)′ ＝(x3)′－(x2)′＋x′－1′ ＝3x2－2x＋1. (3)y′＝ ＝. 探究点二　乘法、除法法则的简单应用 [互动探究] [典例2]　若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标为________． 解析：设P(x0，y0)，则y＝xln x在x＝x0处的导数为ln x0＋1＝2，所以x0＝e， 则y0＝e，则P点坐标为(e，e)． 答案：(e，e) [典例3]　已知曲线y＝，求曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程． 解：y′＝＝， 因为ex>0，所以ex＋≥2＝2(当且仅当ex＝，即x＝0时取等号)，则ex＋＋2≥4， 故y′＝≥－(当x＝0时取等号)． 当x＝0时，曲线的切线斜率取得最小值， 此时切点的坐标为， 切线的方程为y－＝－(x－0)，即x＋4y－2＝0. 利用导数运算法则解决与切线相关问题的两个方法 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系． (2)准确求出已知函数式的导数、切线方程是解决此类问题的关键．　　 [变式训练] 3．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(　　) A．3　　　 B．2　　　　 C．1　　　 D． 解析：选A.设切点的横坐标为x0(x0>0)， ∵曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为， 又y′＝－，∴－＝， 解得x0＝3或x0＝－2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3. 4．已知函数f(x)＝的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0.求函数y＝f(x)的解析式． 解：由函数f(x)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，知－1＋2f(－1)＋5＝0，即f(－1)＝－2， 由切点为M点得f′(－1)＝－. 因为f′(x)＝， 所以 即 解得a＝2，b＝3或a＝－6，b＝－1(由