第二章 1.1 1.2 瞬时变化率-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

§1　平均变化率与瞬时变化率 1．1　平均变化率 1．2　瞬时变化率 [素养目标]　1.理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念．　2.会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度．　3.会求函数在某点附近的平均变化率．　4.培养数学抽象、直观想象的学科素养． 探究点一　求函数的平均变化率 [基础梳理] 1．平均速度 如果物体走过的路程S与经过的时间t的关系为y＝S(t)，则物体在[t0，t1](t0<t1)这段时间内的平均速度为(m/s)． 2．函数的平均变化率 (1)自变量的改变量为x2－x1，记作Δx. (2)函数值的改变量为f(x2)－f(x1)，记作Δy. (3)平均变化率表示为＝． (4)平均变化率的意义：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢． 思考： (1)平均变化率是否一定为正值？ 提示：平均变化率可正、可负、可为零． (2)设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，则函数y＝f(x)的平均变化率＝＝表示什么？ 提示：表示割线AB的斜率． [互动探究] [典例1]　某人拉一车前行，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，其函数关系式为W(t)＝t3－2t＋1.求t从1 s变到3 s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释其实际意义． 解：当t从1 s变到3 s时， 功W从W(1)＝13－2＋1＝0(J)变到 W(3)＝33－2×3＋1＝22(J)， 则平均变化率为＝＝11(J/s)． 它表示从t＝1 s到t＝3 s这段时间内，这个人平均每秒做功11 J. 1.求函数平均变化率的步骤： 第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1； 第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)； 第三步，求平均变化率＝. 2．求平均变化率的一个关注点： 求点x0附近的平均变化率，可用的形式 [变式训练] 1．如图，函数y＝f(x)在[1，3]上的平均变化率为(　　) A．1　　　　　　　　　 B．－1 C．2 D．－2 解析：选B.＝＝＝－1. 2．已知圆的面积S与其半径r之间的函数关系为S＝πr2，其中r∈(0，＋∞)，则当半径r∈[1，1＋Δr]时，圆的面积S的平均变化率为________． 解析：当r∈[1，1＋Δr]时，圆面积S的平均变化率为＝＝＝2π＋πΔr. 答案：2π＋πΔr 探究点二　求函数的瞬时变化率 [基础梳理] 1．瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． 2．瞬时变化率 对于函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中 (1)函数值的改变量与自变量的改变量的比值为平均变化率，记作：＝＝． (2)在x0点的瞬时变化率：当Δx趋于0时，平均变化率趋于函数在x0点的瞬时变化率． 思考： 瞬时速度与平均速度有怎样的区别与联系？ 提示：平均速度与路程和时间都有关系，它反映的是物体在一段时间内的平均运动状态；瞬时速度是物体在某一时刻的速度，是在这一时刻附近时间差Δt趋于0时平均速度的极限值． [互动探究] [典例2]　在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系为h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则起跳后1 s的瞬时速度是________． 解析：起跳后1秒运动员相对于水面的高度的平均变率为＝ ＝＝－4.9Δt－3.3. 当Δt无限趋近于0时，无限趋近于－3.3 m/s. 即起跳后1 s的瞬时速度是－3.3 m/s. 答案：－3.3 m/s 1．求瞬时速度的步骤 (1)求位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)． (2)求平均速度v＝. (3)当Δt趋于0时，平均速度趋于瞬时速度． 2．求当Δx无限趋于0时的值的技巧 (1)在表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算． (2)求出的表达式后，Δx无限趋于0就是令Δx＝0，求出结果即可．　　 [变式训练] 3．质点M按规律s＝2t2＋3做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M在t＝2 s时的瞬时速度是(　　) A．2 m/s　　　　　　 B．6 m/s C．4 m/s D．8 m/s 解析：选D.质点M在t＝2 s时位移的平均变化率为＝＝8＋2Δt， 当Δt无限趋近于0时，无限趋近于8 m/s. 故选D. 4．以初速度v0(v0>0)垂直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－gt2，求物体在t0时刻的瞬时速度． 解：因为Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2. 所以＝v0－gt0－gΔt. 所以当Δt无限趋近于0时，无限趋近于v0－gt0， 故物体在t0时刻的瞬时速度为v0－gt0. 1．已知一物体的运动方程为y＝f(t)＝2t2＋1，其中t的单位是s，路程单位为m，那么物体在时间[1，