第二章 §5 简单复合函数的求导法则-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

§5　简单复合函数的求导法则 [素养目标]　1.熟悉常见复合函数的求导方法，并能运用．　2.培养逻辑推理、数学运算的学科素养． 探究点一　求简单复合函数的导数 [基础梳理] 1．复合函数的定义 对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数． 2．复合函数的记法 函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))，其中u为中间变量． 3．复合函数的求导法则 复合函数y＝f(φ(x))对x的导数为 y′x＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)，其中u＝φ(x)． 思考： (1)函数f(x)＝ex与g(x)＝ex＋1的导数f′(x)、g′(x)有什么关系？ 提示：g′(x)类比f′(x)求导，g′(x)＝ex＋1. (2)函数f(x)＝ln x与g(x)＝ln(x＋1)的导数f′(x)、g′(x)有什么关系？ 提示：g′(x)类比f′(x)求导，g′(x)＝. [互动探究] [典例1]　求下列函数的导数： (1)f(x)＝(2x＋1)100； (2)y＝； (3)f(x)＝(3x＋1)sin(2x＋5)； (4)f(x)＝(4x＋3)2·ln(3x)． 解：(1)f′(x)＝100×(2x＋1)99·(2x＋1)′＝200(2x＋1)99. (2)y′＝＝ ＝ ＝＝. (3)f′(x)＝(3x＋1)′sin(2x＋5)＋(3x＋1)·[sin(2x＋5)]′＝3sin(2x＋5)＋2(3x＋1)cos(2x＋5)． (4)f′(x)＝2(4x＋3)×4ln(3x)＋(4x＋3)2·＝8(4x＋3)ln(3x)＋. 对于复合函数的求导步骤：①首先将函数分解为简单函数：y＝f(u)，u＝g(x)；②对简单函数求导：f′(u)，g′(x)；③乘积运算：f′(u)·g′(x)；④代换：将u＝g(x)代入． [变式训练] 1．已知f(x)＝sin 2x＋e2x，则f′(x)＝(　　) A．2cos 2x＋2e2x　　　 B．cos 2x＋e2x C．2sin 2x＋2e2x D．sin 2x＋e2x 解析：选A.根据题意，f(x)＝sin 2x＋e2x， 则f′(x)＝2cos 2x＋2e2x. 2．已知f(x)＝ln(2x＋1)－ax，且f′(2)＝－1，则a＝(　　) A.　　 B．　　　 C．－　　 D．－ 解析：选A.f′(x)＝－a， 所以f′(2)＝－a＝－1，解得a＝. 3．求下列函数的导数： (1)y＝e－3x＋1； (2)y＝log2(4x＋5)； (3)y＝cos(x2＋1)． 解：(1)y′＝e－3x＋1·(－3x＋1)′＝－3e－3x＋1. (2)y′＝＝. (3)y′＝[－sin(x2＋1)](x2＋1)′＝－2xsin(x2＋1)． 探究点二　复合函数导数的应用 [互动探究] [典例2]　设曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，则a的值为________． 解析：y′＝e2ax·(2ax)′＝2ae2ax， ∴k＝f′(0)＝2a，∴2a＝－，∴a＝－. 答案：－ [典例3]　曲线f(x)＝e2x·cos 3x在(0，1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程． 解：因为f′(x)＝(e2x)′·cos 3x＋e2x(cos 3x)′＝2e2xcos 3x－3e2xsin 3x，所以f′(0)＝2，所以曲线在点(0，1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1.设直线l的方程为y＝2x＋b，根据题意，得＝，所以b＝6或－4.所以直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4. 关于复合函数导数的应用及其解决方法 (1)应用：①求在某点处的切线方程． ②已知切线的方程或斜率求切点． ③涉及切线问题的综合应用． (2)方法：先求出复合函数的导数，若切点已知，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用．　　 [变式训练] 4．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　) A.　　　　　　　　 B．2 C．3 D．0 解析：选A.设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行． ∵y′＝,∴y′|x＝x0＝＝2. 解得x0＝1. ∴y0＝ln(2－1)＝0， 即切点坐标为(1，0)． ∴切点(1，0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝， 即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是. 5．设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直