第二章 §3 导数的计算-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

§3　导数的计算 [素养目标]　1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数．　2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．　3.培养逻辑推理、数学运算的学科素养． 探究点一　导数的几何意义与函数图象 [基础梳理] 　导函数的定义 对于函数f(x)在区间上的每一点x处，满足： (1)导数f′(x)存在． (2)f′(x)是关于x的函数，且f′(x)＝ ，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数． 思考： (1)f′(x0)与f′(x)有什么区别？ 提示：f′(x0)是一个确定的数，而f′(x)是一个函数． f′(x0)是f′(x)当x＝x0时的函数值． (2)导数的取值与函数变化有什么关系？ 提示：若f′(x0)＝0，表示曲线在x＝x0附近比较平坦，几乎没有升降． 若f′(x0)>0，表示在x＝x0附近曲线上升，|f′(x0)|越大，曲线越陡． 若f′(x0)<0，表示在x＝x0附近曲线下降，|f′(x0)|越大，曲线越陡． [互动探究] [典例1]　若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是下图中的(　　) 解析：选A.由导数的几何意义知导函数递增说明函数切线斜率随x增大而变大，因此应选A. [典例2]　已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　) 解析：选D.从导函数的图象可知两个函数在x0处切线斜率相同，可以排除B、C.再者导函数的函数值反映的是原函数切线的斜率大小，可明显看出y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数切线的斜率慢慢变小，排除A. 导数与函数图象升降的关系 若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数存在且f′(x0)>0(即切线的斜率大于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是上升的；若f′(x0)<0(即切线的斜率小于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是下降的．导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢． [变式训练] 1．已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)＝f′(xB) C．f′(xA)<f′(xB) D．f′(xA)与f′(xB)大小不能确定 解析：选A.由y＝f(x)的图象可知，kA>kB，根据导数的几何意义有：f′(xA)>f′(xB)． 2．如图，点A(2，1)，B(3，0)，E(x，0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的(　　) 解析：选D.函数的定义域为[0，＋∞)，当x∈[0，2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化是ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0，2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的； 当x∈(2，3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2，3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的； 当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线． 探究点二　利用导数公式求导数 [基础梳理] 导数公式表 函数 导数 y＝c(c是常数) y′＝0 y＝xα(α是实数) y′＝αxα－1 y＝ax(a>0，a≠1) y′＝axln a特别地(ex)′＝ex y＝loga x(a>0，a≠1) y′＝特别地(ln x)′＝ y＝sin x y′＝cos x y＝cos x y′＝－sin x y＝tan x y′＝ 思考： (1)若函数f(x)＝22，那么f′(x)＝2×2＝4成立吗？ 提示：不成立．因为f(x)＝22＝4是常函数，所以f′(x)＝0. (2)若函数f(x)＝，那么f′(x)＝成立吗？ 提示：不成立．f′(x)＝ . [互动探究] [典例3]　求下列函数的导数: (1)y＝sin； (2)y＝x； (3)y＝log3x. 解：(1)y′＝0. (2)因为y＝x＝x，所以y′＝′＝x＝. (3)y′＝(log3x)′＝. 1．若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导． 2．若给出的函数解析式不符合导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．　　 [变式训练] 3．已知f(x)＝，则f′(1)＝(　　) A．1　　　　　　　　 B．－1 C．3 D．－3 解析：选D.因为f(x)＝x－3，所以f′(x)＝－3x－4，所以f′(1)＝－3. 4．求下列函数的导数： (