第一章 数列 章末小结-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

章末小结 专题一　求数列的通项公式 [典例1]　若数列{an}是正项数列，且＋＋…＋＝n2＋3n(n∈N＋)，则an＝________． 解析：因为＋＋…＋＝n2＋3n(n∈N＋)，① 所以＋＋…＋＝(n－1)2＋3(n－1)(n≥2)，② ①－②，得＝n2＋3n－[(n－1)2＋3(n－1)]＝2(n＋1)，所以an＝4(n＋1)2(n≥2)． 又＝12＋3×1＝4，故a1＝16， 也满足式子an＝4(n＋1)2，故an＝4(n＋1)2. 答案：4(n＋1)2 [典例2]　已知在数列{an}中，an＋1＝an(n∈N＋)，且a1＝4，则数列{an}的通项公式an＝________． 解析：由an＋1＝an，得＝，故＝，＝，…，＝(n≥2)，以上式子累乘得，＝··…···＝，因为a1＝4，所以an＝(n≥2)， 因为a1＝4满足上式，所以an＝. 答案： [典例3]　已知数列{an}满足a1＝2，an－an－1＝n(n≥2，n∈N＋)，则an＝________． 解析：由题意可知，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)， 以上式子累加得，an－a1＝2＋3＋…＋n. 因为a1＝2， 所以an＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋ ＝(n≥2)． 因为a1＝2满足上式，所以an＝. 答案： [典例4]　已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a(an>0，n∈N＋)，则an＝________． 解析：因为数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a(an>0，n∈N＋)，所以log2an＋1＝2log2an，即＝2，又a1＝2，所以log2a1＝1，故数列{log2an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以log2an＝2n－1，即an＝2. 答案：2 【反思感悟】　数列通项公式的求法 (1)定义法.直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目． (2)已知Sn求an.若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an，可用公式an＝求解． (3)累加或累乘法． 形如an－an－1＝f(n)(n≥2)的递推式，可用累加法求通项公式；形如＝f(n)(n≥2)的递推式，可用累乘法求通项公式． [强化练] 1．数列{an}中，a1＝，前n项和Sn＝n2an，则an＝(　　) A.　　　　　　 B． C. D． 解析：选B.因为Sn＝n2an，所以Sn－1＝(n－1)2an－1，(n≥2) 两式相减得：an＝n2an－(n－1)2an－1， 所以(n2－1)an＝(n－1)2an－1， 即(n＋1)an＝(n－1)an－1， 所以＝， 所以＝··…·＝···…·＝， 所以an＝a1＝. 当n＝1时，上式也成立．故an＝. 2．已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1－an＝3n－n，求数列{an}的通项公式． 解：由an＋1－an＝3n－n， 得an－an－1＝3n－1－(n－1)， an－1－an－2＝3n－2－(n－2)， … a3－a2＝32－2， a2－a1＝3－1. 当n≥2时，以上n－1个等式两边分别相加，得(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1) ＝3n－1＋3n－2＋…＋3－[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]， 即an－a1＝－. 又∵a1＝1， ∴an＝×3n－－. 显然a1＝1也适合上式， ∴{an}的通项公式为an＝×3n－－. 专题二　等差、等比数列的判断 [典例5]　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.求证是等比数列，并求{an}的通项公式． 证明：由an＋1＝3an＋1得，an＋1＋＝3an＋＝3(an＋)， 又a1＋＝，所以是首项为，公比为3的等比数列，an＋＝， 因此{an}的通项公式为an＝. [典例6]　设Sn为数列{an}的前n项和，对任意的n∈N＋，都有Sn＝2－an，数列{bn}满足b1＝2a1，bn＝(n≥2，n∈N＋)． (1)求证：数列{an}是等比数列，并求{an}的通项公式； (2)判断数列是等差数列还是等比数列，并求数列{bn}的通项公式． 解：(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，解得a1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an，即＝(n≥2，n∈N＋)．所以数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，故数列{an}的通项公式为an＝()n－1. (2)因为a1＝1，所以b1＝2a1＝2. 因为bn＝，所以＝＋1， 即－＝1(n≥2)．所以数列是首项为， 公差为1的等差数列．所以＝＋(n－1)·1＝，故数列{bn}的通项公式为bn＝. 【反思感悟】　判断一个数列是等差数列或等比数列的方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)⇔{an}是等差数列；＝