第一章 3.1 第2课时 等比数列的性质-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

第2课时　等比数列的性质 [素养目标]　1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质的由来．　2.理解等比数列的性质并能应用．　3.培养数学抽象、数学运算、逻辑推理的学科素养． 探究点一　等比数列的性质的应用 [基础梳理] 1．等比数列的增减性 (1)q<0时，{an}是摆动数列． (2)0<q<1时，若a1>0，则{an}是递减数列，若a1<0，则{an}是递增数列． (3)q＝1时，{an}是常数列，不具有增减性． (4)q>1时，若a1>0，则{an}是递增数列，若a1<0，则{an}是递减数列． 2．等比数列的项之间的关系 已知等比数列{an}，m，n，p，q∈N＋，则 两项关系 an＝amqn－m 三项关系 若m＋n＝2p，则an·am＝a 四项关系 若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq 3.等比数列构造的新数列 若数列{an}是公比为q的等比数列，则 (1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为q的等比数列． (2)奇数项数列{a2n－1}是公比为q2的等比数列；偶数项数列{a2n}是公比为q2的等比数列． (3)在数列{an}中取出以下各项：am，am＋k，am＋2k，…(m，k∈N＋)，按原来顺序组成新数列，则新数列仍为等比数列且公比为qk. (4){a}仍是等比数列，公比为q2. (5){can}(c≠0)仍是等比数列，公比为q. (6)若{an}，{bn}均为等比数列，公比分别为q1，q2，则①{an·bn}仍为等比数列，且公比为q1·q2； ②仍为等比数列，且公比为. 思考： (1)对于公比为q的等比数列，当q＝1，q<0时，分别是什么数列？ 提示：当q＝1时是常数列；当q<0时是正负相间的摆动数列． (2)等比数列两项之间的关系an＝amqn－m中，当n≤m时成立吗？ 提示：成立，如a2＝a5q2－5＝a5q－3＝. [互动探究] [典例1]　已知数列{an}为等比数列，若a4＋a6＝10，则a7(a1＋2a3)＋a3a9的值为(　　) A．10　　 B．20　　　 C．100　　 D．200 解析：选C.a7(a1＋2a3)＋a3a9＝a7a1＋2a7a3＋a3a9＝a＋2a4a6＋a＝(a4＋a6)2＝102＝100. [典例2]　在等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＋…＋a8＝4，a1·a2·…·a8＝16，则＋＋…＋的值为(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 解析：选A.由分数的性质得到＋＋…＋＝＋＋＋.因为a8a1＝a7a2＝a3a6＝a4a5，所以原式＝＝，又a1·a2·…·a8＝16＝(a4a5)4，an>0，∴a4a5＝2，∴＋＋…＋＝2. [典例3]　若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________． 解析：因为{an}为等比数列，所以a1a20＝a2a19＝…＝a9a12＝a10a11.又a10a11＋a9a12＝2e5，所以a10a11＝a9a12＝e5.所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝ln(e5)10＝ln e50＝50. 答案：50 利用等比数列的性质解题 (1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题． (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量． [变式训练] 1．在等比数列{an}中，公比q>1，若a2a8＝6，a4＋a6＝5，则＝________． 解析：由题意，得 解得或 ∴＝q2＝或＝q2＝. 又＝q2，且q>1， ∴的值为. 答案： 2．设数列{an}是各项都为正数的等比数列，且a5a6＝81，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________． 解析：由等比数列的性质可知，a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5a6＝81， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log3815＝log3320＝20. 答案：20 3．在等比数列{an}中，a3a4a5＝3，a6a7a8＝24，则a9a10a11的值是________． 解析：∵{an}成等比数列， ∴a3·a4·a5，a6·a7·a8，a9·a10·a11仍成等比数列，此数列公比q＝＝＝8， a9a10a11＝(a6a7a8)·q＝24×8＝192. 答案：192 4．已知数列{an}为等比数列． (1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值； (2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的