第一章 3.1 第1课时 等比数列的概念(课件)-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

* 课后落实 随堂检测 合作探究 [素养目标]　1.通过生活实例，理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式．　2.在具体问题中判断等比关系，并能解决有关问题．　3.培养数学抽象、数学运算的学科素养． §3　等比数列 3．1　等比数列的概念及其通项公式 第1课时　等比数列的概念 * 课后落实 随堂检测 合作探究 合作探究 素养形成 * 课后落实 随堂检测 合作探究 探究点一　等比数列的判断与证明 [基础梳理] 等比数列 比值 公比 文字语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的__________都是同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的__________，公比通常用字母q表示(q≠0) 数学符号 在数列{an}中，如果＝q(n≥2，n∈N＋)(或＝q(n∈N＋))(q≠0)成立，则称数列{an}为等比数列，常数q称为等比数列的公比. * 课后落实 随堂检测 合作探究 思考： (1)等比数列的前一项与后一项的比是同一常数吗？是公比吗？ 提示：是同一个常数，但它不是公比． (2)等比数列中的项或公比可以为0吗？ 提示：q≠0且数列中的任何一项都不可以为0. (3)数列a、a、a、a、…既是等差数列又是等比数列吗？ 提示：当a≠0时，既是等差数列又是等比数列；当a＝0时，只是等差数列． * 课后落实 随堂检测 合作探究 [互动探究] 角度1　利用定义证明等比数列 [典例1]　判断下列数列是否为等比数列． (1)1，3，32，33，…，3n－1，…； (2)－1，1，2，4，8，…； (3)a，a2，a3，…，an，…. 解：(1)记数列为{an}，显然a1＝1，a2＝3，…，an＝3n－1，… ∵＝＝3(n≥2，n∈N＋)， ∴数列为等比数列，且公比为3. * 课后落实 随堂检测 合作探究 (2)记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…， ∵＝－1≠＝2，∴此数列不是等比数列． (3)当a＝0时，数列为0，0，0，…是常数列，不是等比数列； 当a≠0时，数列为a，a2，a3，a4，…，an，…显然此数列为等比数列，且公比为a. * 课后落实 随堂检测 合作探究 角度2　已知Sn与an的关系，证明等比数列 [典例2]　已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列． 解：an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2)．当n≥2时＝＝2； 当n＝1时，＝＝. 故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列． * 课后落实 随堂检测 合作探究 方法·技巧 判断一个数列{an}是等比数列的基本方法是定义法：若数列{an}满足＝q(q为常数且不为零)或＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． * 课后落实 随堂检测 合作探究 [题组训练] 1．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝. (1)求b1，b2，b3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由． 解：(1)由已知条件可得an＋1＝an. 将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4. 将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12. 从而b1＝1，b2＝2，b3＝4. * 课后落实 随堂检测 合作探究 (2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得＝，即bn＋1＝2bn， 又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列． * 课后落实 随堂检测 合作探究 2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证{an}是等比数列． 证明：∵Sn＝2an＋1， ∴Sn＋1＝2an＋1＋1. ∴an＋1＝Sn＋1－Sn ＝(2an＋1＋1)－(2an＋1) ＝2an＋1－2an，∴an＋1＝2an， 又∵S1＝2a1＋1＝a1， ∴a1＝－1≠0. 又由an＋1＝2an知an≠0， ∴＝2， ∴{an}是等比数列． * 课后落实 随堂检测 合作探究 探究点二　等比数列的通项公式及应用 [基础梳理] 　等比数列的递推公式与通项公式 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则 (2)通项公式：an＝__________． a1qn－1 (1)递推公式：＝q(n≥2)； * 课后落实 随堂检测 合作探究 思考： 等比数列的通项公式an＝a1qn－1与指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠0)有什么联系？ 提示：an＝a1·qn－1＝·qn，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数g(x)＝·qx＝f(x)(x∈R)在x＝n时的值，即an＝g(n)，数列{an}图象上的点(n，an)都在指数函数g(x)的图象上