3.2 基本不等式同步练习-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

3.2　基本不等式 一、基础巩固 1.已知正实数a,b满足a+b=ab,则ab的最小值为 (　　) A.1 B. C.2 D.4 2.已知0<x<1,则当x(1-x)取最大值时,x的值为 (　　) A. B. C. D. 3.(多选题)若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式一定成立的是(　　) A.0< B.<2 C.≥1 D. 4.[2023宁夏中卫市期末]已知x>0,y>0,且x+y=10,则xy的最大值为　　　　　. 5.已知4x+(x>0,a>0)在x=3处取得最小值,则a=　　　　　. 6.已知a>0,b>0,求证:≥a+b. 二、能力提升 7. 《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一方法,很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明,并称之为“无字证明”.如图,AB是半圆O的直径,点C是AB上一点(不同于A,B,O),点D在半圆O上,且CD⊥AB,CE⊥OD于E.设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的“无字证明”为(　　) A.(a>0,b>0) B.(a>0,b>0,a≠b) C.(a>0,b>0) D.(a>0,b>0,a≠b) 8.(多选题)下列四个命题中,是真命题的是(　　) A.∀x∈R,且x≠0,有x+≥2 B.∃x∈R,使得x2+1≤2x C.若x>0,y>0,则 D.若x>0,y>0,且x+y=18,则 的最大值为9 9.已知x>0,y>0,且x+2y=4,则xy的最大值是　　　　,的最小值是　　　　　. 10.已知a,b是正实数,且a+2b-3ab=0,则ab的最小值是　　　　　,a+b的最小值是　　　　　. 11.求函数y=x+中y的取值范围. 三、素养创新 12.若a>b,且ab=2,求证:≥4. 13.某火车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面积为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无须建造费用,因此甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7 200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤6). (1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低? (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为元(a>0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围. 参考答案 一、基础巩固 1.D　∵ab=a+b≥2,∴ab≥4,当且仅当a=b=2时,等号成立,故ab的最小值为4. 2.B　∵0<x<1,∴1-x>0. ∴x(1-x),当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立. 3.CD　=2,当且仅当a=b=2时,等号成立,故B错误; ∵0<ab≤4,,故A错误; 22=1,故C正确; a2+b2=8,当且仅当a=b时,等号成立, ,故D正确.故选CD. 4.25　由已知可得x+y=10≥2,解得xy≤25, 当且仅当x=y=5时,取等号,此时xy的最大值为25. 5.36　由基本不等式,得4x+2=4,当且仅当4x=,即x=时,等号成立,即=3,即a=36. 6.证明∵a>0,b>0, +b≥2=2a,+a≥2=2b, +b++a≥2a+2b, a+b,当且仅当a=b时,等号成立. 二、能力提升 7.D　由AC=a,BC=b,可得半圆O的半径DO=,易得DC=,DE=, ∵DE<DC<DO, (a>0,b>0,a≠b).故选D. 8.BCD　对于A,当x<0时,不等式不成立,故A是假命题;对于B,当x=1时,不等式成立,故B是真命题;对于C,若x>0,y>0,则(x2+y2)(x+y)2≥2xy·4xy=8x2y2,可化为,当且仅当x=y时等号成立,故C是真命题;对于D,∵x>0,y>0,∴x+y=18≥2, 9,故D是真命题.故选BCD. 9.2　　因为x+2y≥2,所以4≥2,即得xy≤2,当且仅当x=2y时取等号,所以xy的最大值是2;因为=((5+)(5+2)=,当且仅当x=y时取等号,所以的最小值是 10　1+　由a+2b-3ab=0,有3ab=a+2b≥2 即32, 所以ab(当且仅当a=2b,即a=,b=时取等号),所以ab的最小值为 由a+2b-3ab=0,可知=3, 所以a+b=()=(3+)(3+2)=1+ 当且仅当,即a=,b=时取等号, 所以a+b的最小值为1+ 11.解当x>1时,y=x-1++1≥2+1=3,当且仅当x=2时,y取得最小值,为3; 当x<1时,y=-[(1-x)+]+1≤-2+1=-1,当且仅当x=0时,y取得最大值,为-1. 故函数y=x+中y的取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞). 三、